2階線形同次微分方程式

$y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0$ ･･････(1)

の2つの解 $u (x)$ と $v (x)$ が1次独立であれば一般解は

$y = c_{1} u (x) + c_{2} v (x)$ 　　( $c_{1}, c_{2}$ は定数)

である．

■参考

微分方程式(1)の3つの解を $u (x), v (x), w (x)$ とする．これら3つの解の1次結合

$c_{1} u (x) + c_{2} v (x) + c_{3} w (x)$

も微分方程式(1)の解となる．

これらの3つの解が1次独立か1次従属かを検討する．

$c_{1} u + c_{2} v + c_{3} w = 0$ ･･････(2)

とおく．(2)を微分する

$c_{1} u^{'} + c_{2} v^{'} + c_{3} w^{'} = 0$ ･･････(3)

(3)を更に微分する

$c_{1} u^{″} + c_{2} v^{″} + c_{3} w^{″} = 0$ ･･････(4)

(2)，(3)，(4)を行列を用いて表すと

$(\begin{matrix} u & v & w \\ u^{'} & v^{'} & w^{'} \\ u^{″} & v^{″} & w^{″} \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ･･････(5)

となる．

行列式

$| \begin{matrix} u & v & w \\ u^{'} & v^{'} & w^{'} \\ u^{″} & v^{″} & w^{″} \end{matrix} |$ ･･････(6)

の解を求める．

$u, v, w$ が(1)の解であるので

$u^{″} + P u^{'} + Q u = 0$

$v^{″} + P v^{'} + Q v = 0$

$w^{″} + P w^{'} + Q w = 0$

が成り立つ．よって

$u^{″} = - P u^{'} - Q u$

$v^{″} = - P v^{'} - Q v$

$w^{″} = - P w^{'} - Q w$

となる．これらを(5)に代入する

$| \begin{matrix} u & v & w \\ u^{'} & v^{'} & w^{'} \\ u^{″} & v^{″} & w^{″} \end{matrix} |$ $= | \begin{matrix} u & v & w \\ u^{'} & v^{'} & w^{'} \\ - P u^{'} - Q u & - P v^{'} - Q v & - P w^{'} - Q w \end{matrix} |$

3行目に2行目を $- P$ 倍して加え，さらに1行目を $- Q$ 倍して加えると

$= | \begin{matrix} u & v & w \\ u^{'} & v^{'} & w^{'} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} |$

$= 0$

行列式の値が0となる．

よって， $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ の何れかが 0 でなくても(6)が成り立つ．つまり(2)も成り立つ．（ここが参考となる）

したがって $u, v, w$ は1次従属となる．

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最終更新日： 2023年6月11日