定数係数線形微分方程式の解の導出

定数係数線形微分方程式

$y^{(n)} + A_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + A_{1} y^{'} + A_{0} y$ $= F (x)$

で $F (x)$ が $r$ 次の多項式であるとする． $A_{0} \neq 0$ ならば，これは $r$ 次の多項式の特殊解をもつ．

■導出

$y^{(n)} + A_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + A_{1} y^{'} + A_{0} y$ $= f (D) y$

$F (x)$ $= C_{r} x^{r} + C_{r - 1} x^{r - 1} + \dots + C_{1} x + C_{0}$

とおく．

$f (D) y = F (x)$ より

$y$ $= \frac{1}{f (D)} F (x)$

$= \frac{1}{f (D)} (C_{r} x^{r} + C_{r - 1} x^{r - 1} + \dots + C_{1} x + C_{0})$

$= \frac{1}{f (D)} C_{r} x^{r} + \frac{1}{f (D)} C_{r - 1} x^{r - 1} + \dots + \frac{1}{f (D)} C_{1} x + \frac{1}{f (D)} C_{0}$

$= C_{r} \frac{1}{f (D)} x^{r} + C_{r - 1} \frac{1}{f (D)} x^{r - 1} + \dots + C_{1} \frac{1}{f (D)} x + C_{0} \frac{1}{f (D)} 1$

$\frac{1}{f (D)} x^{i}$ $= \frac{1}{(D - a_{n}) (D - a_{n - 1}) \dots (D - a_{1})} x^{i}$

$= \frac{1}{(D - a_{n}) (D - a_{n - 1}) \dots (D - a_{2})} e^{a_{1} x} \int e^{- a_{1} x} x^{i} d x$ 　･･････(1)

$\int e^{- a_{1} x} x^{i} d x = I_{i}$ とおく

$\int e^{- a_{1} x} x^{i} d x$ $= \int {(- \frac{1}{a_{1}} e^{- a_{1} x})}^{'} x^{i} d x$

$= - \frac{1}{a_{1}} e^{- a_{1} x} x^{i} - \int (- \frac{1}{a_{1}} e^{- a_{1} x}) i x^{i - 1} d x$

$= - \frac{1}{a_{1}} e^{- a_{1} x} x^{i} + \frac{i}{a_{1}} \int e^{- a_{1} x} x^{i - 1} d x$

$I_{i} = - \frac{1}{a_{1}} e^{- a_{1} x} x^{i} + \frac{i}{a_{1}} I_{i - 1}$

$I_{i - 1} = - \frac{1}{a_{1}} e^{- a_{1} x} x^{i - 1} + \frac{i - 1}{a_{1}} I_{i - 2}$

$I_{i - 2} = - \frac{1}{a_{1}} e^{- a_{1} x} x^{i - 2} + \frac{i - 2}{a_{1}} I_{i - 3}$

$I_{0} = \int e^{- a_{1} x} d x = - \frac{1}{a_{1}} e^{- a_{1} x}$

$I_{i} = {- \frac{1}{a_{1}} x^{i} + {(- \frac{1}{a_{1}})}^{2} i x^{i - 1} + {(- \frac{1}{a_{1}})}^{3} i (i - 1) x^{i - 2} + \dots + {(- \frac{1}{a_{1}})}^{i + 1} i!} e^{- a_{1} x}$

$e^{a_{1} x} \int e^{- a_{1} x} x^{i} d x$ $= - \frac{1}{a_{1}} x^{i} + {(- \frac{1}{a_{1}})}^{2} i x^{i - 1} + {(- \frac{1}{a_{1}})}^{3} i (i - 1) x^{i - 2} + \dots + {(- \frac{1}{a_{1}})}^{i + 1} i!$ $= g_{1 i} (x)$

とおく． $g_{1 i} (x)$ は $i$ 次の多項式となる．

(1)に代入すると

$\frac{1}{f (D)} x^{i}$ $= \frac{1}{(D - a_{n}) (D - a_{n - 1}) \dots (D - a_{2})} g_{1 i} (x)$

この計算より $\frac{1}{D - a_{i}}$ の逆演算を行っても多項式の最高次数保存されることがわかる．

したがって

$y = \frac{1}{f (D)} F (x)$ は $r$ 次の多項式となる．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日

定数係数線形微分方程式 の解の導出

■導出

定数係数線形微分方程式の解の導出