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微分演算子の交換則

微分演算子 $f (D)$ ， $g (D)$ に対して

$f (D) g (D) = g (D) f (D)$

が成り立つ．すなわち，交換則が成り立つ．

${D^{2} + (C_{1} + C_{2}) D + C_{1} C_{2}} y$
$= D^{2} y + (C_{1} + C_{2}) D y + C_{1} C_{2} y$
$= D^{2} y + C_{1} D y + C_{2} D y + C_{1} C_{2} y$
$= D (D y) + D (C_{1} y) + C_{2} (D y) + C_{2} (C_{1} y)$
$= D (D y + C_{1} y) + C_{2} (D y + C_{1} y)$
$D y + C_{1} y = (D + C_{1}) y = v$ とおく
$= D v + C_{2} v$
$= (D + C_{2}) v$
$= (D + C_{2}) (D + C_{1}) y$ 　･･････(1)
また
${D^{2} + (C_{1} + C_{2}) D + C_{1} C_{2}} y$
$= D^{2} y + (C_{1} + C_{2}) D y + C_{1} C_{2} y$
$= D^{2} y + C_{1} D y + C_{2} D y + C_{1} C_{2} y$
$= D^{2} y + C_{2} D y + C_{1} D y + C_{1} C_{2} y$
$= D (D y) + D (C_{2} y) + C_{1} (D y) + C_{1} (C_{2} y)$
$= D (D y + C_{2} y) + C_{1} (D y + C_{2} y)$
$D y + C_{2} y = (D + C_{2}) y = u$ とおく
$= D u + C_{1} u$
$= (D + C_{1}) u$
$= (D + C_{1}) (D + C_{2}) y$ 　･･････(2)
よって，(1)(2)より
$D^{2} + (C_{1} + C_{2}) D + C_{1} C_{2}$
$= (D + C_{2}) (D + C_{1}) = (D + C_{1}) (D + C_{2})$
となる．

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学生スタッフ作成
初版：2009年8月25日，最終更新日： 2011年8月30日

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