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応用分野: 2階定数係数同次微分方程式の解

証明

2階定数係数同次微分方程式

y +a y +by=0  

の一般解は,特性方程式  t 2 +at+b=0  の解によって以下のようになる.

(2)実数解  α  (重解)の場合          y=( c 1 + c 2 x ) e αx

■証明

特性方程式が重解 α をもつ場合,特性方程式  f( t )

f( t )= ( tα ) 2  

と表わせる.よって,微分演算子を用いると,2階定数係数同次微分方程式は

f( D )y=0  

( Dα ) 2 y=0

e αx e αx =1  を使って次のように書き換えると

( Dα ) 2 [ e αx e αx y ]=0  

ここで,微分演算子の基本公式

f( D )[ e αx y ]= e αx f( D+α )y   ⇒詳細

を利用すると,

( Dα ) 2 [ e αx e αx y ]= e αx { ( D+α )α } 2 [ e αx y ]= e αx D 2 [ e αx y ]=0  

よって,

D 2 [ e αx y ]=0  

ここで e αx y=z とおくと,

D 2 z=0  

つまり,

d 2 z d x 2 =0  

これを積分すると,

dz dx = c 2  

となり,もう一度積分すると

z= c 1 + c 2 x  

となる(ただし c 1 c 2 は任意定数).よって,

e αx y= c 1 + c 2 x  

両辺に e αx かけると

y=( c 1 + c 2 x ) e αx  

 

 

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学生スタッフ作成
 初版:2009年8月28日,最終更新日: 2009年9月16日

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