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応用分野: 非同次項が多項式のとき定数係数線形微分方程式の解の導出

定数係数線形微分方程式 の解の導出

定数係数線形微分方程式

y ( n ) + A n1 y ( n1 ) ++ A 1 y + A 0 y =F( x )

F ( x ) r 次の多項式であるとする. A 0 0 ならば,これは r 次の多項式の特殊解をもつ.

■導出

y ( n ) + A n1 y ( n1 ) ++ A 1 y + A 0 y =f( D )y  

F( x ) = C r x r + C r1 x r1 ++ C 1 x+ C 0  

とおく.

f( D )y=F( x )  より

y = 1 f( D ) F( x )

= 1 f( D ) ( C r x r + C r1 x r1 ++ C 1 x+ C 0 )

= 1 f( D ) C r x r + 1 f( D ) C r1 x r1 ++ 1 f( D ) C 1 x+ 1 f( D ) C 0

= C r 1 f( D ) x r + C r1 1 f( D ) x r1 ++ C 1 1 f( D ) x+ C 0 1 f( D ) 1

1 f( D ) x i = 1 ( D a n )( D a n1 )( D a 1 ) x i

= 1 ( D a n )( D a n1 )( D a 2 ) e a 1 x e a 1 x x i dx  ・・・・・・(1)

e a 1 x x i dx = I i  とおく

e a 1 x x i dx = ( 1 a 1 e a 1 x ) x i dx

= 1 a 1 e a 1 x x i ( 1 a 1 e a 1 x )i x i1 dx

= 1 a 1 e a 1 x x i + i a 1 e a 1 x x i1 dx

I i = 1 a 1 e a 1 x x i + i a 1 I i1  

I i1 = 1 a 1 e a 1 x x i1 + i1 a 1 I i2  

I i2 = 1 a 1 e a 1 x x i2 + i2 a 1 I i3  

I 0 = e a 1 x dx= 1 a 1 e a 1 x  

I i ={ 1 a 1 x i + ( 1 a 1 ) 2 i x i1 + ( 1 a 1 ) 3 i( i1 ) x i2 ++ ( 1 a 1 ) i+1 i! } e a 1 x  

e a 1 x e a 1 x x i dx = 1 a 1 x i + ( 1 a 1 ) 2 i x i1 + ( 1 a 1 ) 3 i( i1 ) x i2 ++ ( 1 a 1 ) i+1 i! = g 1i ( x )  

とおく. g 1i ( x ) i 次の多項式となる.

(1)に代入すると

1 f( D ) x i = 1 ( D a n )( D a n1 )( D a 2 ) g 1i ( x )  

この計算より 1 D a i の逆演算を行っても多項式の最高次数保存されることがわかる.

したがって

y= 1 f( D ) F( x )  は r 次の多項式となる.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2024年5月17日

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