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2変数関数の極値の証明 (3)条件g(x,y)=0のもとで,f(x,y)が点(a,b)で極値をとるとする.このときgx(x,y)≠0またはgy(x,y)≠0 ならば,次式を満たす定数 λが存在する. fx(a,b)+λgx(a,b) =0 fy(a,b)+λgy(a,b) =0 ■証明点(a,b) で、関数f(x,y) が、極値を持てば明らかに fx(a,b) =0 fy(a,b) =0 ・・・・・・(1) でなければならない.今の場合は付帯条件g(x,y)=0 があるから, g(a,b) =0 条件よりgy(x,y)≠0 であるから,y はx の陰関数である. ここでg(x,y)=0で定まる陰関数を y=φ(x) として, f(x,y) へ代入して f(x,y) =f(x,φ(x)) となる.この両辺を x で微分すれば,(1)より x=a で ∂f∂x+∂f∂ydydx =0 ・・・・・・(2) 他方g(x,y)=0 についても同じく両辺をx で微分して, ∂g∂x+∂g∂ydydx =0 ・・・・・・(3) ここで(2),(3)から, dydx =−∂f∂x∂f∂y =−∂g∂x∂g∂y これを書き直して, ∂f∂x∂g∂x =∂f∂y∂g∂y =−λ とおけば, {∂f∂x+λ∂g∂x=0∂f∂y+λ∂g∂y=0 よって, fx(a,b)+λgx(a,b) =0 fy(a,b)+λgy(a,b) =0 ホーム>>カテゴリー別分類>>微分>>偏微分>>2変数関数の極値>>2変数関数の極値の証明 (3) 最終更新日: 2018年3月9日 |