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2変数関数の極値の証明 (3)

条件g(x,y)=0のもとで,f(x,y)が点(a,b)で極値をとるとする.このときgx(x,y)0またはgy(x,y)0 ならば,次式を満たす定数 λが存在する.

fx(a,b)+λgx(a,b) =0

fy(a,b)+λgy(a,b) =0

■証明

(a,b) で、関数f(x,y) が、極値を持てば明らかに

fx(a,b) =0      fy(a,b) =0     ・・・・・・(1)

でなければならない.今の場合は付帯条件g(x,y)=0 があるから,

g(a,b) =0

条件よりgy(x,y)0 であるから,yx の陰関数である.

ここでg(x,y)=0で定まる陰関数を y=φ(x) として, f(x,y) へ代入して

f(x,y) =f(x,φ(x))

となる.この両辺を x で微分すれば,(1)より x=a

fx+fydydx =0     ・・・・・・(2)

他方g(x,y)=0 についても同じく両辺をx で微分して,

gx+gydydx =0     ・・・・・・(3)

ここで(2),(3)から,

dydx =fxfy =gxgy

これを書き直して,

fxgx =fygy =λ

とおけば,

{fx+λgx=0fy+λgy=0

よって,

fx(a,b)+λgx(a,b) =0

fy(a,b)+λgy(a,b) =0

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最終更新日: 2018年3月9日

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