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応用分野: 導関数の基本式II(微分の公式II)
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媒介変数表示における導関数

x=f(t)y=g(t)媒介変数で表すことのできる x の関数 y がある.このときの, dydx

dydx=dydtdxdt

となる.

■導出

x=f(t)t に関して解いて t=r(x) が得られたとする.すると, y=g(r(x)) と表すことができる.

dydx=limh0g(r(x+h))g(r(x))h

ここで, h=Δx=f(t+j)f(t)   ( j=Δt ) である.

  • =limh0{g(r(x+h))g(r(x))r(x+h)r(x)
  • ·r(x+h)r(x)h}

ここで, r(x+h)r(x)=j とおくと, r(x+h)=r(x)+j=t+j となる.また, h0 ならば j0 となる. よって,

  • =limj0{g(t+j)g(t)j
  • ·jf(t+j)f(t)}

  • ={limj0g(t+j)g(t)j}
  • {limj01f(t+j)f(t)j}

=g(t)f(t)

微分に関する基本式を参照

=dydtdxdt

●グラフを用いた媒介変数表示における導関数の説明

x=f(t)

y=g(t)

  •  
  •  

 

Δx=f(t+Δt)f(t)Δy=g(t+Δt)g(t) とする.

dydx=limΔx0ΔyΔx

ΔyΔx の分母,分子を Δt で割ると

=limΔx0ΔyΔtΔxΔt

Δx0 のとき Δt0 となる.

よって

=limΔt0ΔyΔtΔxΔt =limΔt0ΔyΔtlimΔt0ΔxΔt =dydtdxdt

まとめると

dydx=dydtdxdt

となる.

 

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最終更新日 2025年2月21日

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