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応用分野: 導関数の基本式II(微分の公式II)
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媒介変数表示における導関数

x=f(t)y=g(t)媒介変数で表すことのできる x の関数 y がある.このときの, dydx

dydx=dydtdxdt

となる.

■導出

x=f(t)t に関して解いて t=r(x) が得られたとする.すると, y=g(r(x)) と表すことができる.

dydx=lim

ここで, h = Δ x = f ( t + j ) f ( t )   ( j = Δ t ) である.

  • = lim h 0 { g ( r ( x + h ) ) g ( r ( x ) ) r ( x + h ) r ( x )
  • · r ( x + h ) r ( x ) h }

ここで, r ( x + h ) r ( x ) = j とおくと, r ( x + h ) = r ( x ) + j = t + j となる.また, h 0 ならば j 0 となる. よって,

  • = lim j 0 { g ( t + j ) g ( t ) j
  • · j f ( t + j ) f ( t ) }

  • = { lim j 0 g ( t + j ) g ( t ) j }
  • { lim j 0 1 f ( t + j ) f ( t ) j }

= g ( t ) f ( t )

微分に関する基本式を参照

= d y d t d x d t

●グラフを用いた媒介変数表示における導関数の説明

x = f ( t )

y = g ( t )

  •  
  •  

 

Δ x = f ( t + Δ t ) f ( t ) Δ y = g ( t + Δ t ) g ( t ) とする.

d y d x = lim Δ x 0 Δ y Δ x

Δ y Δ x の分母,分子を Δ t で割ると

= lim Δ x 0 Δ y Δ t Δ x Δ t

Δ x 0 のとき Δ t 0 となる.

よって

= lim Δ t 0 Δ y Δ t Δ x Δ t = lim Δ t 0 Δ y Δ t lim Δ t 0 Δ x Δ t = d y d t d x d t

まとめると

d y d x = d y d t d x d t

となる.

 

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最終更新日 2025年2月21日

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