|
|||||||||||||
|
|||||||||||||
|
曲線の曲がり具合を示す量が曲率 κ である.曲線上の点Aからに沿って Δs 移動し点Bに達したとする.点Aでの移動方向と点Bでの移動方向の角度の変化量を Δθ とする.角度の変化は進行方向に対して左回り(反時計回り)に変化する場合を正とする.曲率 κ は
κ=limΔs→0ΔθΔs
と定義される.すなわち,曲率 κ は曲線上の点の移動距離に関する進行移動方向の変化率である.
曲線が y=f(x) で表される場合,曲線上の点 (xA,f(xA)) における曲率 κ は
κ=f″(xA)[1+{f′(xA)}2]32
となる.
点Aでの移動方向を単位ベクトルで表したものを →eA ,点Bでの移動距離を単位ベクトルで表したものを →eB とし, x 軸と →eA のなす角を θA , x 軸と →eB のなす角を θB とする.
Δθ=θB−θA
tanΔθ=tan(θB−θA)
=tanθB−tanθA1+tanθBtanθA
tanθA=f′(xA),tanθB=f′(xB) より
=f′(xB)−f′(xA)1+f′(xB)f′(xA)
逆正接関数を用いると,
Δθ=tan−1f′(xB)−f′(xA)1+f′(xB)f′(xA)
tan−1x のマクローリン展開 tan−1x=x−13x3+15x5−⋯ より
一方,積分の平均値の定理より
f(xC)=1xB−xAxB∫xAf(x)dx
が成り立つ
よって
Δs=xB∫xA√1+{f′(x)}2dx =√1+{f′(xC)}2(xB−xA)
Δs→0 のとき xB→xA となる。
よって曲率Kは,
K=limΔs→0ΔθΔs
xB→xA のときxC→xA また,導関数の定義より
limxB→xAf′(xB)−f′(xA)1+f′(xA)f′(xB)=0
limxB→xAf′(xB)−f′(xA)xB−xA=f″(xA)
が成り立つ
よって
=f″(xA)[√1+{f′(xA)}2]32
最終更新日:2023年5月25日