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曲率

曲線の曲がり具合を示す量が曲率 κ である.曲線上の点Aからに沿って Δs 移動し点Bに達したとする.点Aでの移動方向と点Bでの移動方向の角度の変化量を Δθ とする.角度の変化は進行方向に対して左回り(反時計回り)に変化する場合を正とする.曲率 κ

κ=limΔs0ΔθΔs

と定義される.すなわち,曲率 κ は曲線上の点の移動距離に関する進行移動方向の変化率である.

曲線が y=f(x) で表される場合,曲線上の点 (xA,f(xA)) における曲率 κ

κ=f(xA)[1+{f(xA)}2]32

となる.

導出

点Aでの移動方向を単位ベクトルで表したものを eA ,点Bでの移動距離を単位ベクトルで表したものを eB とし, x 軸と eA のなす角を θAx 軸と eB のなす角を θB とする.

Δθ=θBθA

tanΔθ=tan(θBθA)

正接関数の加法定理より

=tanθBtanθA1+tanθBtanθA

tanθA=f(xA),tanθB=f(xB) より

=f(xB)f(xA)1+f(xB)f(xA)

逆正接関数を用いると,

Δθ=tan1f(xB)f(xA)1+f(xB)f(xA)

tan1x のマクローリン展開 tan1x=x13x3+15x5 より

=f(xB)f(xA)1+f(xB)f(xA)13(f(xB)f(xA)1+f(xB)f(xA))3+15(f(xB)f(xA)1+f(xB)f(xA))5

一方,積分の平均値の定理より

f(xC)=1xBxAxBxAf(x)dx

1+{f(xC)}2=1xBxAxBxA1+{f(x)}2dx

が成り立つ

よって

Δs=xBxA1+{f(x)}2dx =1+{f(xC)}2(xBxA)

Δs0 のとき xBxA となる。

よって曲率Kは,

K=limΔs0ΔθΔs

=limxBxA11+{f(xC)}2(xBxA){f(xB)f(xA)1+f(xA)f(xB)13(f(xB)f(xA)1+f(xA)f(xB))3+15(f(xB)f(xA)1+f(xA)f(xB))5}

=limxBxA11+{f(xC)}2(xBxA)f(xB)f(xA)1+f(xA)f(xB){113(f(xB)f(xA)1+f(xA)f(xB))2+15(f(xB)f(xA)1+f(xA)f(xB))4}

xBxA のときxCxA また,導関数の定義より

limxBxAf(xB)f(xA)1+f(xA)f(xB)=0

limxBxAf(xB)f(xA)xBxA=f(xA)

が成り立つ

よって

k=11+{f(xA)}211+f(xA)f(xA)f(xA)

=f(xA)[1+{f(xA)}2]32

 

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最終更新日:2023年5月25日

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