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導関数

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■解説

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の導関数とは ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の $x$ のおける微分係数を $x$ の関数として表したもので ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ と記す．すなわち，

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}$

である（導関数の定義式）． $h$ の代わりに ${\displaystyle \Delta x}$ を用いることもよくある．関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の導関数 ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ を求めることを「関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ を $x$ で微分する」という．

関数が ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ と表されている場合は，導関数を

${\displaystyle y^{\prime }}$ ， ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$

と表すこともある．また，導関数（微分した結果）を表すのに

${\displaystyle {\left(\right)}^{\prime }}$

を使うこともある．

例えば，

${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2}$

と書くこともある．

■具体例

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ の導関数を定義式にしたがって求めてみる．

${\displaystyle \begin{array}{ll}{f}^{\prime }\left(x\right)\hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\hfill \\ \hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\left(x+h\right)}^2-x^2}{h}\hfill \\ \hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\hfill \\ \hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{2xh+h^2}{h}\hfill \\ \hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\left(2x+h\right)\hfill \\ \hfill & =2x\hfill \end{array}}$

 

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最終更新日： 2025年2月21日

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