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媒介変数表示における導関数

${\displaystyle x=f\left(t\right)}$，${\displaystyle y=g\left(t\right)}$  と媒介変数で表すことのできる ${\displaystyle x}$ の関数${\displaystyle y}$ がある．このときの， ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$  は

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$

となる．

■導出

${\displaystyle x=f\left(t\right)}$  をt に関して解いて${\displaystyle t=r\left(x\right)}$  が得られたとする．すると，${\displaystyle y=g\left(r\left(x\right)\right)}$  と表すことができる．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g\left(r\left(x+h\right)\right)-g\left(r\left(x\right)\right)}{h}}$

ここで，${\displaystyle h=\Delta x=f\left(t+j\right)-f\left(t\right)}$   （${\displaystyle j=\Delta t}$ ） である． 

• ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\{\frac{g\left(r\left(x+h\right)\right)-g\left(r\left(x\right)\right)}{r\left(x+h\right)-r\left(x\right)}}$
• ${\displaystyle ·\frac{r\left(x+h\right)-r\left(x\right)}{h}\}}$

ここで， ${\displaystyle r\left(x+h\right)-r\left(x\right)=j}$ とおくと，${\displaystyle r\left(x+h\right)=r\left(x\right)+j=t+j}$  となる．また，${\displaystyle h\to 0}$  ならば${\displaystyle j\to 0}$ となる． よって， 

• ${\displaystyle =\underset{j\to 0}{lim}\{\frac{g\left(t+j\right)-g\left(t\right)}{j}}$
• ${\displaystyle ·\frac{j}{f\left(t+j\right)-f\left(t\right)}\}}$

 

• ${\displaystyle =\left\{\underset{j\to 0}{lim}\frac{g\left(t+j\right)-g\left(t\right)}{j}\right\}}$

• ・	${\displaystyle \left\{\underset{j\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{f\left(t+j\right)-f\left(t\right)}{j}}\right\}}$

 

${\displaystyle =\frac{g^{\prime }\left(t\right)}{f^{\prime }\left(t\right)}}$ 

微分に関する基本式を参照  

${\displaystyle =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$ 

●グラフを用いた媒介変数表示における導関数の説明

${\displaystyle x=f\left(t\right)}$

${\displaystyle y=g\left(t\right)}$

•  
•  

 

${\displaystyle \Delta x=f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t\right)}$ ，${\displaystyle \Delta y=g\left(t+\Delta t\right)-g\left(t\right)}$ とする．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}}$

${\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}}$ の分母，分子を${\displaystyle \Delta t}$ で割ると

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}}$

${\displaystyle \Delta x\to 0}$ のとき${\displaystyle \Delta t\to 0}$ となる．

よって

${\displaystyle =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}}$${\displaystyle =\frac{\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta t}}}$${\displaystyle =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$ 

まとめると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$

となる．

　

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最終更新日 2023年5月25日

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