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応用分野: 導関数の基本式II(微分の公式II)

媒介変数表示における導関数

x=f( t ) y=g( t )  と媒介変数で表すことのできる x の関数 y がある.このときの, dy dx  は

dy dx = dy dt dx dt

となる.

■導出

x=f( t )  を t に関して解いて t=r( x )  が得られたとする.すると, y=g( r( x ) )  と表すことができる.

dy dx = lim h0 g( r( x+h ) )g( r( x ) ) h

ここで, h=Δx=f( t+j )f( t )   ( j=Δt ) である. 

  • = lim h0 { g( r( x+h ) )g( r( x ) ) r( x+h )r( x )
  • · r( x+h )r( x ) h }

ここで, r( x+h )r( x )=j  とおくと, r( x+h )=r( x )+j=t+j  となる.また, h0  ならば j0  となる. よって, 

  • = lim j0 { g( t+j )g( t ) j
  • · j f( t+j )f( t ) }
 

  • ={ lim j0 g( t+j )g( t ) j }
  • { lim j0 1 f( t+j )f( t ) j }
 

= g ( t ) f ( t )  

微分に関する基本式を参照  

= dy dt dx dt  

●グラフを用いた媒介変数表示における導関数の説明

x=f( t )

y=g( t )

  •  
  •  

 

Δx=f( t+Δt )f( t ) Δy=g( t+Δt )g( t ) とする.

dy dx = lim Δx0 Δy Δx

Δy Δx の分母,分子を Δt で割ると

= lim Δx0 Δy Δt Δx Δt

Δx0 のとき Δt0 となる.

よって

= lim Δt0 Δy Δt Δx Δt = lim Δt0 Δy Δt lim Δt0 Δx Δt = d y dt dx dt  

まとめると

dy dx = dy dt dx dt

となる.

 

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最終更新日 2017年3月10日

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