微分　e^x

${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ 微分しても関数は変化しない

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■導出

${(e^{x})}^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{x + Δ x} - e^{x}}{Δ x}$ ${(e^{x})}^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{x + Δ x} - e^{x}}{Δ x}$ （導関数の定義より）

$= lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{x} (e^{Δ x} - 1)}{Δ x}$ $= lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{x} (e^{Δ x} - 1)}{Δ x}$

$= e^{x} {lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{Δ x} - 1}{Δ x}}$ $= e^{x} {lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{Δ x} - 1}{Δ x}}$ ･･････(1)

$= e^{x}$ $= e^{x}$ (∵ $lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{Δ x} - 1}{Δ x} = 1$ $lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{Δ x} - 1}{Δ x} = 1$ より⇒ここを参照)

●他の方法

(1)において

$e^{Δ x} - 1 = t$ $e^{Δ x} - 1 = t$ ･･････(2)

とおく．(2)を $Δ x$ $Δ x$ について解く．

$e^{Δ x} = t + 1$ $e^{Δ x} = t + 1$

対数の定義より

$Δ x = \log (t - 1)$ $Δ x = \log (t - 1)$ ･･････(3)

(3)を(1)に代入して，計算を進める． $Δ x \to 0$ $Δ x \to 0$ のとき $t \to 0$ $t \to 0$ より

${(e^{x})}^{'} = e^{x} \{\lim_{t \to 0} \frac{t}{\log (t - 1)}\}$ ${(e^{x})}^{'} = e^{x} \{\lim_{t \to 0} \frac{t}{\log (t - 1)}\}$

$= e^{x} \{\lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{\log (t - 1)}{t}}\}$ $= e^{x} \{\lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{\log (t - 1)}{t}}\}$

$= e^{x} \{\lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} \log (t - 1)}\}$ $= e^{x} \{\lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} \log (t - 1)}\}$

$= e^{x} \{\lim_{t \to 0} \frac{1}{\log {(t - 1)}^{\frac{1}{t}}}\}$ $= e^{x} \{\lim_{t \to 0} \frac{1}{\log {(t - 1)}^{\frac{1}{t}}}\}$ （∵対数の性質 $\log_{a} R^{t} = t \log_{a} R$ $\log_{a} R^{t} = t \log_{a} R$ ）

$= e^{x} \{\frac{1}{\log (\lim_{t \to 0} {(t - 1)}^{\frac{1}{t}})}\}$ $= e^{x} \{\frac{1}{\log (\lim_{t \to 0} {(t - 1)}^{\frac{1}{t}})}\}$ （ ∵ $e$ $e$ の定義 $\lim_{t \to 0} {(t - 1)}^{\frac{1}{t}} = e$ $\lim_{t \to 0} {(t - 1)}^{\frac{1}{t}} = e$ ）

$= e^{x} \cdot \frac{1}{\log e}$ $= e^{x} \cdot \frac{1}{\log e}$

$= e^{x} \cdot 1$ $= e^{x} \cdot 1$

$= e^{x}$ $= e^{x}$

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最終更新日 2025年2月20日

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