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微分 x^α

(xα)=αxα1  

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■導出計算

αが自然数の場合

微分の定義より

ddxxα=limΔx0(x+Δx)αxαΔx

二項定理より

=limΔx01Δx(αC0xα+αC1xα1Δx+αC2xα2(Δx)2++αCα(Δx)αxα)

=limΔx0(αC1xα1+αC2xα2Δx++αCα(Δx)α1)

=αC1xα1

=αxα1

αが負の整数の場合

ddxxα=ddx1xα(備考:α は自然数となる)

=ddxxα(xα)2  ( 分数の微分)

=αxα1x2α

=αxα1+2α

=αxα1

α=0 の場合

微分の定義より

ddxxα=limΔx0(x+Δx)0x0Δx

=limΔx00Δx

=0

となり ,ddxxα=αxα1α=0の場合も含む.

α が有理数の場合

α=pq   p :整数,p :自然数として表すことができる.

ddxxα=ddxxpq

=ddx(x1q)p

=p(x1q)p1ddxx1q  (合成関数の微分)

=p(x1q)p11qx1q1   (*参照)

=pqxp1q+1q1

=αxα1


x>0q:自然数とする.

y=x1q とすると,x=yp となる.

dydx=1dxdy  (逆関数の微分)

=1qyq1

=1qy1q

=1q(x1q)1q

=1qx1q1

 

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最終更新日: 2024年5月17日

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