微分 x^α
(xα)′=αxα−1
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■導出計算
●αが自然数の場合
微分の定義より
ddxxα=limΔx→0(x+Δx)α−xαΔx
二項定理より
=limΔx→01Δx(αC0xα+αC1xα−1Δx+αC2xα−2(Δx)2+⋯+αCα(Δx)α−xα)
=limΔx→0(αC1xα−1+αC2xα−2Δx+⋯+αCα(Δx)α−1)
=αC1xα−1
=αxα−1
●αが負の整数の場合
ddxxα=ddx1x−α(備考:−α は自然数となる)
=−ddxx−α(x−α)2 (∵ 分数の微分)
=−−αx−α−1x−2α
=αx−α−1+2α
=αxα−1
●α=0 の場合
微分の定義より
ddxxα=limΔx→0(x+Δx)0−x0Δx
=limΔx→00Δx
=0
となり ,ddxxα=αxα−1はα=0の場合も含む.
●α が有理数の場合
α=pq p :整数,p :自然数として表すことができる.
ddxxα=ddxxpq
=ddx(x1q)p
=p(x1q)p−1ddxx1q (合成関数の微分)
=p(x1q)p−1⋅1qx1q−1 (*参照)
=pqxp−1q+1q−1
=αxα−1
* x>0,q:自然数とする.
y=x1q とすると,x=yp となる.
dydx=1dxdy (逆関数の微分)
=1qyq−1
=1qy1−q
=1q(x1q)1−q
=1qx1q−1
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最終更新日:
2024年5月17日