( cos − 1 x ) ′ = − 1 1 − x 2
y = cos − 1 x とすると,アークコサイン(逆余弦関数)の定義より, x = cos y と書きかえることができる.
さらに, cos y をサイン(正弦)を使って書き換えると(ここを参照).
x = cos y = sin ( π 2 − y )
となる.この関係式をアークサイン(逆正弦関数)を使って書き直すと
sin − 1 x = π 2 − y
となる. y = cos − 1 x であるので
sin − 1 x = π 2 − cos − 1 x
よって,
cos − 1 x = − sin − 1 x + π 2
となる.すなわち, cos − 1 x は sin − 1 x を用いて表すことができる. この関係を用いると
( sin − 1 x ) ′ = 1 1 − x 2 (ここを参照)
より
( cos − 1 x ) ′ = ( − sin − 1 x + π 2 ) ′ = − 1 1 − x 2
となる.
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最終更新日: 2025年4月25日
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