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微分　arccosx

${\displaystyle {\left({\cos }^{-1}x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$  

■導出

${\displaystyle y={cos}^{-1}x}$  とすると，アークコサイン（逆余弦関数）の定義より, ${\displaystyle x=cosy}$  と書きかえることができる．

さらに， ${\displaystyle cosy}$ をサイン（正弦）を使って書き換えると（ここを参照）．

${\displaystyle \begin{array}{ll}x\hfill & =cosy\hfill \\ \hfill & =sin\left(\frac{\pi }{2}-y\right)\hfill \end{array}}$

となる．この関係式をアークサイン（逆正弦関数）を使って書き直すと

${\displaystyle {sin}^{-1}x=\frac{\pi }{2}-y}$  

となる． ${\displaystyle y={cos}^{-1}x}$ であるので

${\displaystyle {sin}^{-1}x=\frac{\pi }{2}-{cos}^{-1}x}$  

よって，

${\displaystyle {cos}^{-1}x=-{sin}^{-1}x+\frac{\pi }{2}}$  

となる．すなわち， ${\displaystyle {cos}^{-1}x}$ は ${\displaystyle {sin}^{-1}x}$ を用いて表すことができる． この関係を用いると

${\displaystyle {\left({\sin }^{-1}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$   （ここを参照）

より

${\displaystyle {\left({cos}^{-1}x\right)}^{\prime }={\left(-{sin}^{-1}x+\frac{\pi }{2}\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

となる．

 

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最終更新日： 2025年4月25日

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