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微分 x^α

( x α ) =α x α1  

■導出計算

α が自然数の場合

微分の定義より

d dx x α = lim Δx0 ( x+Δx ) α x α Δx

二項定理より

= lim Δx0 1 Δx ( α C 0 x α + α C 1 x α1 Δx + α C 2 x α2 ( Δx ) 2 + + α C α ( Δx ) α x α )

= lim Δx0 ( α C 1 x α1 + α C 2 x α2 Δx+ + α C α ( Δx ) α1 )

= α C 1 x α1

=α x α1

α が負の整数の場合

d dx x α = d dx 1 x α (備考: α は自然数となる)

= d dx x α ( x α ) 2   ( 分数の微分)

= α x α1 x 2α

=α x α1+2α

=α x α1

α=0 の場合

微分の定義より

d dx x α = lim Δx0 ( x+Δx ) 0 x 0 Δx

= lim Δx0 0 Δx

=0

となり , d dx x α =α x α1 α=0 の場合も含む.

α が有理数の場合

α= p q    p :整数, p :自然数として表すことができる.

d dx x α = d dx x p q

= d dx ( x 1 q ) p

=p ( x 1 q ) p1 d dx x 1 q   (合成関数の微分)

=p(x1q)p11qx1q1    (*参照)

= p q x p1 q + 1 q 1

=α x α1



x>0 q:自然数とする.

y= x 1 q とすると, x= y p となる.

dy dx = 1 dx dy   (逆関数の微分)

= 1 q y q1

= 1 q y 1q

= 1 q ( x 1 q ) 1q

= 1 q x 1 q 1

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最終更新日: 2018年6月5日

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