複素の絶対値

■複素数の絶対値の定義

複素数${\displaystyle z=a+bi}$ の絶対値は${\displaystyle \left|z\right|}$ で表され

$\left|z\right|=\left|a+ib\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

となる．複素平面のページを参照のこと

■複素数の絶対値の性質

• ${\displaystyle \left|z\right|=\left|-z\right|=\left|\overline{z}\right|}$
• ${\displaystyle z\overline{z}={\left|z\right|}^2}$

$\alpha$ ，$\beta$ を複素数とすると

• ${\displaystyle \left|\alpha \beta \right|=\left|\alpha \right|\left|\beta \right|}$
• ${\displaystyle \left|\frac{\alpha }{\beta }\right|=\frac{\left|\alpha \right|}{\left|\beta \right|}}$

■証明

${\displaystyle {\left|\alpha \beta \right|}^2}$${\displaystyle =\left(\alpha \beta \right)\left(\overline{\alpha \beta }\right)}$${\displaystyle =\alpha \beta \overline{\alpha }\overline{\beta }}$${\displaystyle =\alpha \overline{\alpha }\beta \overline{\beta }}$${\displaystyle ={\left|\alpha \right|}^2{\left|\beta \right|}^2}$

よって

${\displaystyle \left|\alpha \beta \right|=\left|\alpha \right|\left|\beta \right|}$

 

${\displaystyle \left|\alpha \right|}$${\displaystyle =\left|\frac{\alpha }{\beta }·\beta \right|}$${\displaystyle =\left|\frac{\alpha }{\beta }\right|\left|\beta \right|}$

よって

${\displaystyle \left|\frac{\alpha }{\beta }\right|=\frac{\left|\alpha \right|}{\left|\beta \right|}}$

 

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最終更新日 2023年2月25日