${\displaystyle {}^t\left({}^{t}A\right)=A}$の証明

行列 ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)}$ の転置行列を行列 ${\displaystyle C=\left(c_{ji}\right)}$ とする．すなわち

${\displaystyle {}^{t}A=}$${\displaystyle C}$

とする．また，

行列 ${\displaystyle C=\left(c_{ji}\right)}$ の転置行列は行列 ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)}$ となる．すなわち

${\displaystyle {}^{t}C=}$${\displaystyle A}$

(転置行列の定義より)

である．したがって

${\displaystyle {}^t\left({}^{t}A\right)={}^{t}C=A}$

となり

${\displaystyle {}^t\left({}^{t}A\right)=A}$

が成り立つ．

■具体例

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)}$とする．

${\displaystyle {}^t\left({}^{t}A\right)={\begin{array}{c}\\ \end{array}}^t\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)}$

${\displaystyle =A}$

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最終更新日： 2024年11月22日