置換の積

${\displaystyle A}$ の置換を行った後，${\displaystyle B}$の置換を行うことを置換の積といいABで表すことにする．
（ただし，写像の合成の考え方からAとBの順番を入れかえてBAと定義している場合も多い）

例えば

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \end{array}\right)}$，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)}$

の場合

${\displaystyle AB=\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 1\hfill & 3\hfill \end{array}\right)}$

と表す．

置換の積ABによって

1は置換Aにより　${\displaystyle 1\to 2}$ 　 に対応し，置換Bにより　${\displaystyle 2\to 1}$ 　 に対応する．

2は置換Aにより　${\displaystyle 2\to 3}$ 　 に対応し，置換Bにより　${\displaystyle 3\to 3}$ 　 に対応する．

3は置換Aにより　${\displaystyle 3\to 1}$ 　 に対応し，置換Bにより　${\displaystyle 1\to 2}$ 　 に対応する．

すなわち，

${\displaystyle 1\to 1}$

，

${\displaystyle 2\to 3}$

，

${\displaystyle 3\to 2}$

に対応する．

式で表すと，

${\displaystyle AB}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)}$

置換Bの上段の並びを，置換Aの下段の並びに合わせる．(置換の相等)

${\displaystyle =\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill \end{array}\right)}$

置換の積ABは上段の式の置換Aの上段を上段に，置換Bの下段を下段に書いたものになる．

${\displaystyle =\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill \end{array}\right)}$

　

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最終更新日： 2025年1月17日