アフィン変換 (Affine transformation)

変換するベクトル ${\displaystyle \mathit{x}}$ に，常に ${\displaystyle 1}$ である仮想的な座標を１つ付け加えることで，アフィン変換を１つの行列の積で統一的に表現できる．具体的には，式(1)に恒等式 ${\displaystyle 1=1}$ を付け加え

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{\mathit{x}}^{\prime }=A\mathit{x}+\mathit{b}\\ 1=\mathbf{0}·\mathit{x}+1\end{array}}$     ······ 

と書いて，まとめて行列表示すると

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& \mathit{b}\\ \mathbf{0}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathit{x}\\ 1\end{array}\right)}$     ······ 

と表せる．この仮想的な座標を１つ付け加えた座標 ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathit{x}\\ 1\end{array}\right)}$ のことを 同次座標 (homogeneous coordinates) という．同次座標を導入することで1次変換と平行移動が１つの行列 ${\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A& \mathit{b}\\ \mathbf{0}& 1\end{array}\right)}$ の積として表現できるため，計算が簡潔になる．例えば，アフィン変換を 繰り返し ${\displaystyle k}$ 回行う場合，それらの表現行列を ${\displaystyle M_1}$ , ${\displaystyle M_2}$ , ${\displaystyle \cdots }$ , ${\displaystyle M_k}$ とすると，1次変換の場合と同様の表記

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=M_k\cdots M_2{M}_1\left(\begin{array}{c}\mathit{x}\\ 1\end{array}\right)}$     ······ 

で変換後のベクトル ${\displaystyle {\mathit{x}}^{\prime }}$ が求まる．

点 ${\displaystyle P(x,y)}$ を ${\displaystyle P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })}$ に移すアフィン変換は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+b_1\\ y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+b_2\end{array}}$     ······ 

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)}$     ······ 

と表される．同次座標を用いると

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& b_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)}$     ······ 

と表される．

点 ${\displaystyle P(x,y,z)}$ を点 ${\displaystyle P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$ に移すアフィン変換は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+b_1\\ y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z+b_2\\ z^{\prime }=a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z+b_3\end{array}}$     ······ 

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)}$     ······ 

と表される．同次座標を用いると

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& b_2\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& b_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)}$     ······ 

と表される．