逆行列の一意性

正則行列 Aに対して，

${\displaystyle AB=BA=E}$　･･････(1)

${\displaystyle AC=CA=E}$　･･････(2)

となる任意の行列${\displaystyle B}$ ,${\displaystyle C}$ があるとする．

${\displaystyle B}$に対して(1)，(2)を用い行列の計算をすると

${\displaystyle B}$${\displaystyle =BE}$

${\displaystyle =B\left(AC\right)}$　${\displaystyle \because \left(2\right)}$

${\displaystyle =\left(BA\right)C}$　

${\displaystyle =EC}$　${\displaystyle \because \left(1\right)}$

${\displaystyle =C}$

となる.すなわち

${\displaystyle B=C}$

となり，正則行列${\displaystyle A}$ の逆行列は，ただ一つだけ存在する．

言い換えると，逆行列は一意に定まる．

 

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最終更新日： 2025年1月17日