逆行列の性質

ここでは，逆行列の性質について示す．

• 逆行列の逆行列

  ${\displaystyle A}$ 　が正則行列なら， ${\displaystyle A^{-1}}$ 　も正則行列で

  ${\displaystyle {\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A}$

• 行列の積の逆行列

  ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle B}$ 　が正則行列なら， ${\displaystyle AB}$ 　も正則行列で

  ${\displaystyle {\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}}$

■証明

･ ${\displaystyle {\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A}$の証明

${\displaystyle A}$の逆行列が${\displaystyle A^{-1}}$であることより

${\displaystyle A^{-1}A=A{A}^{-1}=E}$

が成り立つ．

正則行列の定義より， ${\displaystyle A^{-1}}$ は正則行列で，${\displaystyle A^{-1}}$ の逆行列は${\displaystyle A}$である．

式で表すと

${\displaystyle {\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A}$

である．

･${\displaystyle {\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}}$の証明

${\displaystyle A}$，${\displaystyle B}$が正則行列であるので逆行列が存在し，${\displaystyle A}$の逆行列を${\displaystyle A^{-1}}$，${\displaystyle B}$の逆行列を${\displaystyle B^{-1}}$とする．

行列の計算より

${\displaystyle \left(AB\right)\left(B^{-1}{A}^{-1}\right)=A\left(B{B}^{-1}\right)A^{-1}=AE{A}^{-1}=A{A}^{-1}=E}$

${\displaystyle \left(B^{-1}{A}^{-1}\right)\left(AB\right)=B\left(A{A}^{-1}\right)B^{-1}=BE{B}^{-1}=B{B}^{-1}=E}$

よって

${\displaystyle \left(AB\right)\left(B^{-1}{A}^{-1}\right)=\left(B^{-1}{A}^{-1}\right)\left(AB\right)=E}$

が成り立つ．

したがって，正則行列の定義より${\displaystyle AB}$は正則行列で

${\displaystyle AB}$の逆行列${\displaystyle {\left(AB\right)}^{-1}}$は${\displaystyle B^{-1}{A}^{-1}}$となる．

 

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最終更新日： 2022年6月23日