行列の計算則積について(2)

$A$ が $k \times l$ 行列， $B$ が $l \times m$ 行列， $C$ が $m \times n$ 行列ならば

$(A B) C = A (B C)$

■証明

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 l} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 l} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k l} \end{matrix})$ $k \times l$ 行列

$B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 m} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{l 1} & b_{l 2} & \dots & b_{l m} \end{matrix})$ $l \times m$ 行列

$C = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & c_{m 2} & \dots & c_{m n} \end{matrix})$ $m \times n$ 行列

$A B = D = (d_{i j})$ ただし $d_{i j} = \sum_{h = 1}^{l} a_{i h} b_{h j}$ $D$ は $k \times m$ 行列

$B C = E = (e_{i j})$ ただし $e_{i j} = \sum_{g = 1}^{m} b_{i g} c_{g j}$ $E$ は $l \times h$ 行列

とし，

$(A B) C = D C = X = (x_{i j})$ $X$ は $k \times n$ 行列

$A (B C) = A E = Y = (y_{i j})$ $Y$ は $k \times n$ 行列

とする．

$x_{i j} = \sum_{g = 1}^{m} d_{i g} c_{g j}$ $= \sum_{g = 1}^{m} (\sum_{h = 1}^{l} a_{i h} b_{h g}) c_{g j}$

$= \sum_{g = 1}^{m} ((a_{i 1} b_{1 g} + a_{i 2} b_{2 g} + \dots + a_{i l} b_{\lg}) c_{g j})$

$= (a_{i 1} b_{11} + a_{i 2} b_{21} + \dots + a_{i l} b_{l 1}) c_{1 j}$
$+ (a_{i 1} b_{12} + a_{i 2} b_{22} + \dots + a_{i l} b_{l 2}) c_{2 j}$
$+ \dots$
$+ (a_{i 1} b_{1 m} + a_{i 2} b_{2 m} + \dots + a_{i l} b_{l m}) c_{m j}$

$= a_{i 1} b_{11} c_{1 j} + a_{i 2} b_{21} c_{1 j} + \dots + a_{i l} b_{l 1} c_{1 j}$
$+ a_{i 1} b_{12} c_{2 j} + a_{i 2} b_{22} c_{2 j} + \dots + a_{i l} b_{l 2} c_{2 j}$
$+ \dots$
$+ a_{i 1} b_{1 m} c_{m j} + a_{i 2} b_{2 m} c_{m j} + \dots + a_{i l} b_{l m} c_{m j}$

$= a_{i 1} (b_{11} c_{1 j} + b_{12} c_{2 j} + \dots + b_{1 m} c_{m j})$
$+ a_{i 2} (b_{21} c_{1 j} + b_{22} c_{2 j} + \dots + b_{2 m} c_{m j})$
$+ \dots$
$+ a_{i l} (b_{l 1} c_{1 j} + b_{l 2} c_{2 j} + \dots + b_{l m} c_{m j})$

$= \sum_{h = 1}^{l} a_{i h} (b_{h 1} c_{1 j} + b_{h 2} c_{2 j} + \dots + b_{h m} c_{m j})$

$= \sum_{h = 1}^{l} a_{i h} (\sum_{g = 1}^{m} b_{h g} c_{g j})$

$= \sum_{h = 1}^{l} a_{i h} e_{h j}$

$= y_{i j}$

すなわち

$x_{i j} = y_{i j}$

となり

$(A B) C = A (B C)$

が成り立つ．

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最終更新日： 2019年7月8日

行列の計算則 積について(2)

■証明

行列の計算則積について(2)