行列式の計算手順2

■余因子展開を利用する場合の手順

1. 行列式の性質を利用して，ある行，またはある列の成分をできるだけ0にする．

2. その後，0である成分の多い行，または列で余因子展開する．

■余因子展開を利用した場合

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}4& 0& 1& 8\\ 1& 2& 0& 4\\ 2& 1& 6& 0\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right|}$

2列目の3行目の成分以外を0にするために，行列式の計算則を用いて，2行+3行×(-2)，4行+3行×(-4)の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}4& 0& 1& 8\\ -3& 0& -12& 4\\ 2& 1& 6& 0\\ -8& 0& -23& 2\end{array}\right|}$

2列目で余因子展開をする．

${\displaystyle ={\left(-1\right)}^{3+2}\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 8\\ -3& -12& 4\\ -8& -23& 2\end{array}\right|}$

行列式を簡単にするために，行列式の計算則を用いて3行＋2行×(-2)，の計算をする．

${\displaystyle =\left(-1\right)\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 8\\ -3& -12& 4\\ -2& 1& -6\end{array}\right|}$

2列目の1行目の成分以外を0にするために，行列式の計算則を用いて2行＋1行×12，3行+1行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =\left(-1\right)\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 8\\ 45& 0& 100\\ -6& 0& -14\end{array}\right|}$

2列目で余因子展開をする．

${\displaystyle =\left(-1\right)\times {\left(-1\right)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}45& 100\\ -6& -14\end{array}\right|}$

行列式の行と列の特徴を見ると，1行目の成分が5の倍数，2行目の成分が2の倍数になっている．よって， 定数倍の性質を用いて1行目から5を，2行目から2をくくりだす

${\displaystyle =5\times 2\left|\begin{array}{cc}9& 20\\ -3& -7\end{array}\right|}$

行列式の行と列の特徴を見ると，1列目の成分が3の倍数になっている．よって定数倍の性質を用いて1列目から3をくくりだす．

${\displaystyle =10\times 3\left|\begin{array}{cc}3& 20\\ -1& -7\end{array}\right|}$

${\displaystyle =30\left\{3\times \left(-7\right)-20\times \left(-1\right)\right\}}$

${\displaystyle =-30}$

　

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最終更新日： 2023年2月8日