1次独立と1次従属

ベクトル空間 ${\displaystyle X}$ の要素${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ，${\displaystyle \cdots }$ ，${\displaystyle x_n}$ の1次結合が ${\displaystyle 0}$ となる関係式

${\displaystyle c_1{x}_1+c_2{x}_2+c_3{x}_3+\cdots +c_n{x}_n=0}$ ･･････(1)

が成り立つのは，

${\displaystyle c_1=c_2=c_3=\cdots =c_n=0}$

のみであるとき，${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ，${\displaystyle \cdots }$ ，${\displaystyle x_n}$ は1次独立という．1次独立以外のとき，
${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ，${\displaystyle \cdots }$ ，${\displaystyle x_n}$ は1次従属という．
(1)の${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ，${\displaystyle \cdots }$ ，${\displaystyle x_n}$ が1次従属であれば，(1)が成り立つためには
${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$ ，${\displaystyle c_3}$ ，${\displaystyle \cdots }$ ， ${\displaystyle c_n}$ の少なくとも1つは${\displaystyle 0}$ でない．

■1次独立の例

3次元ベクトル空間${\displaystyle X}$ の要素

${\displaystyle x_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle x_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle x_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$

は1次独立である．その理由を以下に示す．

${\displaystyle c_1{x}_1+c_2{x}_2+c_3{x}_3=0}$ ･･････(2)

が成り立つとする．

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{c}_1+c_3\\ c_1+c_2+c_3\\ c_2+c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}{c}_1+c_3=0\cdots \cdots (3)\\ c_1+c_2+c_3=0\cdots \cdots (4)\\ c_2+c_3=0\cdots \cdots (5)\end{array}\right.}$

(3)より

${\displaystyle c_1=-c_3}$ ･･････(6)

(5)より

${\displaystyle c_2=-c_3}$ ･･････(7)

(6)，(7)を(4)に代入すると

${\displaystyle -c_3-c_3+c_3=0}$

${\displaystyle -c_3=0}$

${\displaystyle c_3=0}$･･････(8)

(8)と(6)，(5)より

${\displaystyle c_1=0}$ ，${\displaystyle c_2=0}$

よって(2)が成り立つためには

${\displaystyle c_1=c_2=c_3=0}$

したがって，${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ，${\displaystyle x_3}$ は1次独立である．

■1次従属の例

3次元ベクトル空間${\displaystyle X}$ の要素

${\displaystyle x_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle x_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle x_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$

は1次従属である．その理由を以下に示す．

${\displaystyle c_1{x}_1+c_2{x}_2+c_3{x}_3=0}$･･････(9)

が成り立つとする．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}{c}_1+c_3=0\cdots \cdots (10)\\ c_1+c_2+2c_3=0\cdots \cdots (11)\\ c_2+c_3=0\cdots \cdots (12)\end{array}\right.}$

(10)より

${\displaystyle c_1=-c_3}$･･････(13)

(12)より

${\displaystyle c_2=-c_3}$･･････(14)

(13)，(14)を(11)に代入すると

${\displaystyle -c_3-c_3+2c_3=0}$･･････(15)

${\displaystyle 0=0}$

となり，(15)は${\displaystyle c_3}$ が任意の値で成り立つ．${\displaystyle c_3=c}$ (${\displaystyle c}$ は任意定数)とおくと，

${\displaystyle c_1=-c}$ ，${\displaystyle c_2=-c}$

となる．例えば，${\displaystyle c=-2}$ とすると，

${\displaystyle c_1=2}$ ，${\displaystyle c_2=2}$，${\displaystyle c_3=-2}$

となり，(9)は

${\displaystyle 2x_1+2x_2-2x_3=0}$

となる．したがって，${\displaystyle c_1=c_2=c_3=0}$ でなくても(9)が成り立つので，
${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ，${\displaystyle x_3}$ は1次従属である．

 

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最終更新日： 2023年2月8日