次数下げの計算の証明

1行目において，${\displaystyle \left(1,1\right)}$ 成分以外の成分が全て0の場合(${\displaystyle a_{11}\ne 0}$，${\displaystyle a_{12}=a_{13}=\cdots =a_{1n}=0}$)， 行列式の定義より，

と表される．，行列式の項の中で， ${\displaystyle a_{12}}$，${\displaystyle a_{13}}$，･･･，${\displaystyle a_{1n}}$を含む項は全て ${\displaystyle 0}$ となる． よって，

となる． ${\displaystyle i_2,i_3,\cdots ,i_n}$ は ${\displaystyle 2}$ から ${\displaystyle n}$ の間の整数で重複しない．置換の下段左端が ${\displaystyle 1}$ になっていることに注意する．

${\displaystyle a_{11}}$ が全ての項の共通因数になるのでくくりだすことができる．よって，

となる．置換の左端の対が ${\displaystyle 1\to 1}$ で変化しないので，

が成り立つ．よって，

${\displaystyle =a_{11}{\displaystyle \sum _n\mathrm{sgn}}\left(\begin{array}{ccc}2& \cdots & n\\ i_2& \cdots & i_n\end{array}\right)a_{2i_2}\cdots a_{n{i}_n}}$

となる．行列式の定義より，

${\displaystyle =a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \cdots & a_{2n}\\ a_{32}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

となる．

以上より，

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$${\displaystyle =a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \cdots & a_{2n}\\ a_{32}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$……(1)

が成り立つ．

また，1列目において， ${\displaystyle \left(1,1\right)}$ 成分以外の成分が全て0の場合( ${\displaystyle a_{11}\ne 0}$ ， ${\displaystyle a_{21}=a_{31}=\cdots =a_{n1}=0}$ )， ${\displaystyle \left|A\right|=\left|{}^{t}A\right|}$ より，

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

となる．上記(1)より

${\displaystyle =a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

となる．${\displaystyle \left|A\right|=\left|{}^{t}A\right|}$ より

${\displaystyle =a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

となる．したがって，

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$${\displaystyle =a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$……(2)

が成り立つ．

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>次数下げの計算>>次数下げの計算の証明

最終更新日： 2023年7月10日