係数行列

$x$ ， $y$ を未知数とする $2$ 元 $1$ 次連立方程式

${\begin{matrix} 2 x + 4 y = 14 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{matrix}$

の $x$ ， $y$ の係数を成分とする行列

$(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & - 2 \end{matrix})$

のことを係数行列という．⇒ 参照：拡大係数行列

$2$ 元 $1$ 次連立方程式

${\begin{matrix} 2 x + 4 y = 14 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{matrix}$

で表された関数を列ベクトルを使って表すと

$(\begin{matrix} 2 x + 4 y \\ 3 x - 2 y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 14 \\ 5 \end{matrix})$

となる．

行列の積の定義より

$(\begin{matrix} 2 x + 4 y \\ 3 x - 2 y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

すなわち，連立方程式の係数行列 $(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & - 2 \end{matrix})$ と未知数を成分とした列ベクトル $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ の積となる．

以上より，連立方程式は係数行列を使って

$(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 14 \\ 5 \end{matrix})$

と表される．

同様にして，連立方程式

${\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m} x_{n} = b_{m} \end{matrix}$

の係数行列は

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$

となる．

を係数行列を使って表すと，

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

となる．

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = A$ ， $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = x$ ， $(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}) = b$

とおくと，連立方程式は

$A x = b$

と表せる．

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最終更新日： 2025年1月17日