クラメルの公式

■2元1次連立方程式の場合

連立方程式

$\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$

を行列を用いて，

$(\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix})$

と表す．

$A = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix})$ とおく．

$|A| = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}| \neq 0$ のとき，連立方程式の解は，

$x = \frac{1}{|A|} |\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}| = \frac{|\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}|}$

$y = \frac{1}{|A|} |\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}| = \frac{|\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}|}$

で与えられる．

これらの解を表す式をクラメルの公式という．

■3元1次連立方程式の場合

連立方程式

$\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{2} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{matrix}$

を行列を用いて

$(\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix})$

と表す．

$A = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix})$ とおく．

$|A| = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}| \neq 0$ のとき，連立方程式の解は，

$x = \frac{1}{|A|} |\begin{matrix} d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}| = \frac{|\begin{matrix} d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|}$

$y = \frac{1}{|A|} |\begin{matrix} a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{matrix}| = \frac{|\begin{matrix} a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|}$

$z = \frac{1}{|A|} |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{matrix}| = \frac{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|}$

で与えられる．

■n元1次連立方程式の場合

${\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{n} \end{matrix}$

を行列を用いて

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$

と表す．

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ とおく．

$| A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \neq 0$ のとき，連立方程式の解は，

$x_{1} = \frac{1}{| A |} | \begin{matrix} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \frac{| \begin{matrix} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |}$

$x_{2} = \frac{1}{| A |} | \begin{matrix} a_{11} & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & b_{n} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \frac{| \begin{matrix} a_{11} & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & b_{n} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |}$

$⋮$

$x_{n} = \frac{1}{| A |} | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & b_{n} \end{matrix} | = \frac{| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & b_{n} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |}$

で与えられる．⇒導出

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最終更新日：2022年9月9日