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2元1次連立方程式の解についての平面座標を用いた考察

2元1次連立方程式   

a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2   ・・・・・・(1)

を行列を使って表わすと

a 11 a 12 a 21 a 22 x 1 x 2 = b 1 b 2  ・・・・・・(2)

となる.また係数行列 a 11 a 12 a 21 a 22 の列ベクトル a 11 a 21 a 12 a 22 を使って表わすと

x 1 a 11 a 21 + x 2 a 12 a 22 = b 1 b 2  ・・・・・・(3)

となる.

a 11 a 21 = a 1 a 12 a 22 = a 2 b 1 b 2 =b

とおくと(3)は

x 1 a 1 + x 2 a 2 =b

と表わされる.(4)の関係を x y 座標を使って表現すると

 

となる.図より,平行四辺形 OABC の面積を S 0 ,平行四辺形 ODEC の面積を S x1 ,平行四辺形 OAGH の面積を S x 2 ,平行四辺形 OFJC の面積を S 1 ,平行四辺形 OAIF の面積を S 2 ,と定めると,

x 1 = S x1 S 0 x 2 = S x2 S 0

となる.

S x1 = S 1 S x2 = S 2

より

x 1 = S 1 S 0 x 2 = S 2 S 0

となる. x 1 x 2 は面積比となっている.

平行四辺形の面積は行列式を使って求めることができ,

S 0 = a 1 a 2 = a 11 a 12 a 21 a 22

S 1 = b a 2 = b 1 a 12 b 2 a 22

S 2 = a 1 b = a 11 b 1 a 21 b 2

となる.

したがって

x 1 = b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 x 2 = a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a 22

となる.これらの解を表わす式はクラメルの公式になっている.

 

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最終更新日: 2022年9月9日

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