# 2元1次連立方程式の解についての平面座標を用いた考察

2元1次連立方程式

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_{1}+{a}_{12}{x}_{2}={b}_{1}\hfill \\ {a}_{21}{x}_{1}+{a}_{22}{x}_{2}={b}_{2}\hfill \end{array}\right\$ 　 ･･････(1)

を行列を使って表わすと

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& {a}_{12}\\ {a}_{21}& {a}_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_{1}\hfill \\ {x}_{2}\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{b}_{1}\hfill \\ {b}_{2}\hfill \end{array}\right)$ 　･･････(2)

となる．また係数行列 $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& {a}_{12}\\ {a}_{21}& {a}_{22}\end{array}\right)$ の列ベクトル$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\end{array}\right)$を使って表わすと

${x}_{1}\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\end{array}\right)+{x}_{2}\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{b}_{1}\hfill \\ {b}_{2}\hfill \end{array}\right)$ 　･･････(3)

となる．

$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\end{array}\right)={a}_{1}$$\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\end{array}\right)={a}_{2}$$\left(\begin{array}{l}{b}_{1}\hfill \\ {b}_{2}\hfill \end{array}\right)=b$

とおくと(3)は

${x}_{1}{a}_{1}+{x}_{2}{a}_{2}=b$

と表わされる．(4)の関係を$xy$ 座標を使って表現すると

となる．図より，平行四辺形$\text{OABC}$ の面積を${S}_{0}$ ，平行四辺形$\text{ODEC}$ の面積を${S}_{x1}$ ，平行四辺形$\text{OAGH}$ の面積を${S}_{x2}$ ，平行四辺形$\text{OFJC}$ の面積を${S}_{1}$ ，平行四辺形$\text{OAIF}$ の面積を${S}_{2}$ ，と定めると，

${x}_{1}=\frac{{S}_{x1}}{{S}_{0}}$${x}_{2}=\frac{{S}_{x2}}{{S}_{0}}$

となる．

${S}_{x1}={S}_{1}$${S}_{x2}={S}_{2}$

より

${x}_{1}=\frac{{S}_{1}}{{S}_{0}}$${x}_{2}=\frac{{S}_{2}}{{S}_{0}}$

となる．${x}_{1}$${x}_{2}$ は面積比となっている．

${S}_{0}=\left|\left(\begin{array}{cc}{a}_{1}& {a}_{2}\end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& {a}_{12}\\ {a}_{21}& {a}_{22}\end{array}\right|$

${S}_{1}=\left|\left(\begin{array}{cc}b& {a}_{2}\end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}{b}_{1}& {a}_{12}\\ {b}_{2}& {a}_{22}\end{array}\right|$

${S}_{2}=\left|\left(\begin{array}{cc}{a}_{1}& b\end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& {b}_{1}\\ {a}_{21}& {b}_{2}\end{array}\right|$

となる．

したがって

${x}_{1}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_{1}& {a}_{12}\\ {b}_{2}& {a}_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& {a}_{12}\\ {a}_{21}& {a}_{22}\end{array}\right|}$${x}_{2}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& {b}_{1}\\ {a}_{21}& {b}_{2}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& {a}_{12}\\ {a}_{21}& {a}_{22}\end{array}\right|}$

となる．これらの解を表わす式はクラメルの公式になっている．

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