2元1次連立方程式の解についての平面座標を用いた考察

2元1次連立方程式 　　

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\hfill \\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\hfill \end{array}\right.}$ 　 ･･････(1)

を行列を使って表わすと

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\hfill \\ x_2\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{b}_1\hfill \\ b_2\hfill \end{array}\right)}$ 　･･････(2)

となる．また係数行列 ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)}$ の列ベクトル${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\end{array}\right)}$を使って表わすと

${\displaystyle x_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{b}_1\hfill \\ b_2\hfill \end{array}\right)}$ 　･･････(3)

となる．

${\displaystyle a_1=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle a_2=\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle b=\left(\begin{array}{l}{b}_1\hfill \\ b_2\hfill \end{array}\right)}$

とおくと，(3)は

${\displaystyle x_1{a}_1+x_2{a}_2=b}$　･･････(4)

と表わされる．(4)の関係を ${\displaystyle xy}$ 平面において幾何学的に表現すると下図のようになる：

（ ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OD}}=x_1{\mathit{a}}_1}$ , ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OH}}=x_2{\mathit{a}}_2}$ , ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OF}}=\mathit{b}}$ より，(4)は ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OH}}=\overrightarrow{\text{OF}}}$ と表現される．）

この図より
    ベクトル ${\displaystyle {\mathit{a}}_1}$ , ${\displaystyle {\mathit{a}}_2}$ を2辺とする平行四辺形${\displaystyle \text{OABC}}$ の面積を${\displaystyle S_0}$ ，
    ベクトル ${\displaystyle x_1{\mathit{a}}_1}$ , ${\displaystyle {\mathit{a}}_2}$ を2辺とする平行四辺形${\displaystyle \text{ODEC}}$ の面積を${\displaystyle S_{x1}}$ ，
    ベクトル ${\displaystyle {\mathit{a}}_1}$ , ${\displaystyle x_2{\mathit{a}}_2}$ を2辺とする平行四辺形${\displaystyle \text{OAGH}}$ の面積を${\displaystyle S_{x2}}$ ，
    ベクトル ${\displaystyle \mathit{b}}$ , ${\displaystyle {\mathit{a}}_2}$ を2辺とする平行四辺形${\displaystyle \text{OFJC}}$ の面積を${\displaystyle S_1}$ ，
    ベクトル ${\displaystyle {\mathit{a}}_1}$ , ${\displaystyle \mathit{b}}$ を2辺とする平行四辺形${\displaystyle \text{OAIF}}$ の面積を${\displaystyle S_2}$ ，
と定めると，

${\displaystyle x_1=\frac{S_{x1}}{S_0}}$，${\displaystyle x_2=\frac{S_{x2}}{S_0}}$

である．ここで

${\displaystyle S_{x1}=S_1}$，${\displaystyle S_{x2}=S_2}$

であるので

${\displaystyle x_1=\frac{S_1}{S_0}}$，${\displaystyle x_2=\frac{S_2}{S_0}}$

となる．よって，${\displaystyle x_1}$ , ${\displaystyle x_2}$ は面積比となっている．

平行四辺形の面積は行列式を使って求めることができ（※），

${\displaystyle S_0=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}$

${\displaystyle S_1=\left|\begin{array}{cc}b& a_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|}$

${\displaystyle S_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|}$

となる．したがって

${\displaystyle x_1=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}}$ ，${\displaystyle x_2=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}}$

が得られる．これらの解を表わす式はクラメルの公式になっている．

 

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最終更新日： 2023年12月4日