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2次形式の標準化 (normalization of quadratic form)

${\displaystyle n}$ 個の変数 ${\displaystyle x_1}$, ${\displaystyle x_2}$, ${\displaystyle \cdots }$, ${\displaystyle x_n}$ と実定数 ${\displaystyle a_{ij}}$ ( ${\displaystyle =a_{ji}}$ ) から成る2次形式

${\displaystyle q(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j={}^t\mathit{x}A\mathit{x}}$     ······ (1)

を考える． ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)}$ は係数 ${\displaystyle a_{ij}}$ を成分とする対称行列で， ${\displaystyle \mathit{x}=\left(x_i\right)}$ は変数 ${\displaystyle x_i}$ を成分とする列ベクトルである．

今，式(1)は異なる2つの変数の積 ${\displaystyle x_i{x}_j}$ ( ${\displaystyle i\ne j}$ ) の項を含むものとする（ ${\displaystyle A}$ はゼロでない非対角成分をもつ）．

実対称行列の性質より， ${\displaystyle A}$ の固有値 ${\displaystyle {\lambda }_1}$, ${\displaystyle {\lambda }_2}$, ${\displaystyle \cdots }$, ${\displaystyle {\lambda }_n}$ はすべて実数であり，対応する固有ベクトル ${\displaystyle {\mathit{p}}_1}$, ${\displaystyle {\mathit{p}}_2}$, ${\displaystyle \cdots }$, ${\displaystyle {\mathit{p}}_n}$ （大きさ ${\displaystyle 1}$ に正規化されている）を各列に並べた直交行列 ${\displaystyle P=\left(\begin{array}{cccc}{\mathit{p}}_1& {\mathit{p}}_2& \cdots & {\mathit{p}}_n\end{array}\right)}$ を用いて， ${\displaystyle A}$ は以下のように対角化できる．

${\displaystyle D={}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\end{array}\right)}$     ······ (2)

したがって，${\displaystyle \mathit{x}}$ の直交変換

${\displaystyle \mathit{X}={}^{t}P\mathit{x}}$ ${\displaystyle ={}^t\left(\begin{array}{cccc}{X}_1& X_2& \cdots & X_n\end{array}\right)}$     ······ (3)

と式(2)を用いて，式(1)の2次形式を変数 ${\displaystyle X_1}$, ${\displaystyle X_2}$, ${\displaystyle \cdots }$, ${\displaystyle X_n}$ で書き直すと

${\displaystyle {}^t\mathit{x}A\mathit{x}=\left({}^t\mathit{X}{}^{t}P\right)A\left(P\mathit{X}\right)}$ ${\displaystyle ={}^t\mathit{X}\left({}^{t}PAP\right)\mathit{X}}$ ${\displaystyle ={}^t\mathit{X}D\mathit{X}}$ ${\displaystyle =\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{X}_i^2}$     ······ (4)

となる．式(4)の最右辺の形を 2次形式の標準形 という．

直交変換は内積を変えない変換である．幾何学的には，直交変換はベクトルの大きさや2つのベクトルのなす角を変えない変換となっており，回転移動や各軸・原点に対する対称移動に相当する．つまり，2次形式を標準形に直すことで，その式の本質的な性質（幾何学的な図形の形）を変えずに見通しの良い形になり，その式の特徴が分かり易くなるため，2次式の分類などに用いられる．

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最終更新日：2025年10月7日

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