直交変換 (orthogonal transformation)

1次変換（線形変換）の表現行列が直交行列 ${\displaystyle P}$ である変換を 直交変換 (orthogonal transformation) という．

直交変換は，ベクトルの内積を保つ性質をもつ．つまり，ある2つのベクトル ${\displaystyle \mathit{u}}$ , ${\displaystyle \mathit{v}}$ を直交変換したベクトル ${\displaystyle P\mathit{u}}$ , ${\displaystyle P\mathit{v}}$ の内積 ${\displaystyle P\mathit{u}·P\mathit{v}}$ は，元の2つのベクトルの内積 ${\displaystyle \mathit{u}·\mathit{v}}$ に等しい：

${\displaystyle P\mathit{u}·P\mathit{v}={}^t\left(P\mathit{u}\right)\left(P\mathit{v}\right)={}^t\mathit{u}\left({}^{t}PP\right)\mathit{v}={}^t\mathit{u}\mathit{v}=\mathit{u}·\mathit{v}}$

ここで，直交行列の性質 ${\displaystyle {}^{t}P=P^{-1}}$ を用いた．この内積を保つ性質により，直交変換はベクトルの長さや2つのベクトルの間の角度を変化させない．また，直交変換は正則（可逆）であり，逆変換も直交変換である．

2次元平面や3次元空間において，直交変換は，回転移動，軸や原点に関する対称移動，またはその組み合わせとして理解できる．例えば，2次元の回転行列 ${\displaystyle R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)}$ による変換は，ベクトルの長さも2つのベクトルの間の角度も保つ直交変換である．

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最終更新日：2025年10月14日

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