2次形式 (quadratic form)

式(1)の係数 ${\displaystyle a_{ij}}$ を成分とする対称行列 ${\displaystyle A}$ ，変数を成分とする列ベクトル ${\displaystyle \mathit{x}}$

${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)}$    ${\displaystyle (a_{ij}=a_{ji})}$   ,     ${\displaystyle \mathit{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)}$     ······ (4)

を用いて，式(1)を

${\displaystyle q(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={}^t\mathit{x}A\mathit{x}}$     ······ (5)

と表せる．式(2)，式(3)の場合

式(2)  ⇒   ${\displaystyle q(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$     ······ (6)

式(3)  ⇒   ${\displaystyle q(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& b& f\\ b& c& d\\ f& d& e\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}$     ······ (7)

となる．対称行列は適当な直交行列により対角化できるので， ${\displaystyle A}$ を対角化する直交行列 ${\displaystyle P}$ による ${\displaystyle \mathit{x}}$ の直交変換で，式(1)を変数の2乗の項のみで構成される式に変換できる（2次形式の標準化）．

式(1)を ${\displaystyle x_k}$ で偏微分すると， ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$ より

${\displaystyle \frac{\partial q}{\partial x_k}=\frac{\partial }{\partial x_k}\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j}$ ${\displaystyle =2\sum _{i=1}^n{a}_{ki}{x}_i}$ ${\displaystyle ={\left(2A\mathit{x}\right)}_k}$     ······ (8)

となる．ここで，最右辺はベクトル ${\displaystyle 2A\mathit{x}}$ の ${\displaystyle k}$ 番目の成分を表す．したがって，

${\displaystyle \nabla q=\text{grad}q=2A\mathit{x}}$     ······ (9)

が成り立つ．演算子 ${\displaystyle \nabla }$ はナブラであり，上式はスカラー量 ${\displaystyle q}$ の勾配 (grad) ベクトルを表す．