3元1次方程式の解

$\{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = b_{1} ･･････ (1) \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = b_{2} ･･････ (2) \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = b_{3} ･･････ (3) \end{cases}$

$x_{3}$ を消去する．

(1)× $a_{23}$
$a_{11} a_{23} x_{1} + a_{12} a_{23} x_{2} + a_{13} a_{23} x_{3} = a_{23} b_{1}$ ･･････(4)

(2)× $a_{13}$
$a_{13} a_{21} x_{1} + a_{13} a_{22} x_{2} + a_{13} a_{23} x_{3} = a_{13} b_{2}$ ･･････(5)

(4)−(5)
$(a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}) x_{1} + (a_{12} a_{23} - a_{13} a_{22}) x_{2} = a_{23} b_{1} - a_{13} b_{2}$ ･･････(6)

(1)× $a_{33}$
$a_{11} a_{33} x_{1} + a_{12} a_{33} x_{2} + a_{13} a_{33} x_{3} = a_{33} b_{1}$ ･･････(7)

(3)× $a_{13}$
$a_{13} a_{31} x_{1} + a_{13} a_{32} x_{2} + a_{13} a_{33} x_{3} = a_{13} b_{3}$ ･･････(8)

(7)−(8)
$(a_{11} a_{33} - a_{13} a_{31}) x_{1} + (a_{12} a_{33} - a_{13} a_{32}) x_{2} = a_{33} b_{1} - a_{13} b_{3}$ ･･････(9)

$x_{2}$ を消去する．

(6)× $(a_{12} a_{33} - a_{13} a_{32})$ −(9)× $(a_{12} a_{23} - a_{13} a_{22})$

${(a_{12} a_{33} - a_{13} a_{32}) (a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}) - (a_{12} a_{23} - a_{13} a_{22}) (a_{11} a_{33} - a_{13} a_{31})} x_{1}$ $= (a_{12} a_{33} - a_{13} a_{32}) (a_{23} b_{1} - a_{13} b_{2}) - (a_{12} a_{23} - a_{13} a_{22}) (a_{33} b_{1} - a_{13} b_{3})$

$x_{1}$ の係数

$a_{12} a_{33} a_{11} a_{23} - a_{12} a_{33} a_{13} a_{21}$ $- a_{13} a_{32} a_{11} a_{23}$ $+ a_{13} a_{32} a_{13} a_{21}$ $- a_{12} a_{23} a_{11} a_{33}$ $+ a_{12} a_{23} a_{13} a_{31}$ $+ a_{13} a_{22} a_{11} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{13} a_{31}$

$= - a_{12} a_{13} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{13} a_{23} a_{32}$ $+ a_{13} a_{13} a_{21} a_{32}$ $+ a_{12} a_{13} a_{23} a_{31}$ $+ a_{11} a_{13} a_{22} a_{33}$ $- a_{13} a_{13} a_{22} a_{31}$

$= a_{13} (a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}$ $+ a_{12} a_{23} a_{31}$ $- a_{12} a_{21} a_{33}$ $+ a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31})$

定数項

$a_{12} a_{33} a_{23} b_{1} - a_{12} a_{33} a_{13} b_{2}$ $- a_{13} a_{32} a_{23} b_{1}$ $+ a_{13} a_{32} a_{13} b_{2}$ $- a_{12} a_{23} a_{33} b_{1}$ $+ a_{12} a_{23} a_{13} b_{3}$ $+ a_{13} a_{22} a_{33} b_{1} - a_{13} a_{22} a_{13} b_{3}$

$= - a_{12} a_{13} a_{33} b_{2} - a_{13} a_{23} a_{32} b_{1}$ $+ a_{13} a_{13} a_{32} b_{2}$ $+ a_{12} a_{13} a_{23} b_{3}$ $+ a_{13} a_{22} a_{33} b_{1}$ $- a_{13} a_{13} a_{22} b_{3}$

$= a_{13} (a_{22} a_{33} b_{1} - a_{23} a_{32} b_{1}$ $+ a_{13} a_{32} b_{2}$ $- a_{12} a_{33} b_{2}$ $+ a_{12} a_{23} b_{3} - a_{13} a_{22} b_{3})$

よって，整理すると

$x_{1} = \frac{a_{13} (a_{22} a_{33} b_{1} - a_{23} a_{32} b_{1} + a_{13} a_{32} b_{2} - a_{12} a_{33} b_{2} + a_{12} a_{23} b_{3} - a_{13} a_{22} b_{3})}{a_{13} (a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{23} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31})}$

$_{} = \frac{b_{1} a_{22} a_{33} - b_{1} a_{23} a_{32} + b_{2} a_{13} a_{32} - b_{2} a_{12} a_{33} + b_{3} a_{12} a_{23} - b_{3} a_{13} a_{22}}{a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{23} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}}$

行列式を用いて表すと

$x_{1} = \frac{|\begin{matrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}|}$

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最終更新日： 2025年1月17日