3次元の回転行列（x軸まわり）

点${\displaystyle P\left(x,y,z\right)}$ を${\displaystyle x}$ 軸のまわりに${\displaystyle \theta }$ 回転して点${\displaystyle Q\left(u,v,w\right)}$ に移す一次変換の表現行列は

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)}$

である．${\displaystyle x}$ 軸の正方向に右ねじを向け，${\displaystyle x}$ 軸の正方向に右ねじが進む回転方向を正方向とする．

■導出

${\displaystyle x}$ 軸の回転では${\displaystyle x}$ 成分の値は変化しないので

${\displaystyle u=x}$  ……(1)

となる．よって，点${\displaystyle P}$ から点${\displaystyle Q}$へ移す変換は，
${\displaystyle yz}$ 平面に平行で${\displaystyle x}$ 軸と${\displaystyle x}$ 軸の値が
${\displaystyle x}$ で交わる平面上の点${\displaystyle {{\rm O}}^{\prime }}$ を中心として
${\displaystyle \theta }$ 回転したものと考えることができる．

したがって

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}v\\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right)}$

${\displaystyle v=\left(\cos \theta \right)y-\left(\sin \theta \right)z}$ ……(2)

${\displaystyle w=\left(\sin \theta \right)y+\left(\cos \theta \right)z}$ ……(3)

となる．

(1)，(2)，(3)より

${\displaystyle u=1x+0y+0z}$

${\displaystyle v=0x+\left(\cos \theta \right)y-\left(\sin \theta \right)z}$

${\displaystyle w=ox+\left(\sin \theta \right)y+\left(\cos \theta \right)z}$

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}u\\ v\\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}$

となる．

以上より，${\displaystyle x}$ 軸のまわりに${\displaystyle \theta }$ 回転する一次変換の表現行列は

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)}$

である．

■別の方法

${\displaystyle x}$ 軸のまわりに${\displaystyle \theta }$ 回転する一次変換を${\displaystyle f}$とする．

${\displaystyle 3}$次元ベクトル空間の基本ベクトルを

${\displaystyle e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle e_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$

とすると

${\displaystyle f\left(e_1\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$

${\displaystyle f\left(e_2\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)}$

${\displaystyle f\left(e_3\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)}$

よって，表現行列は

${\displaystyle \left(f\left(e_1\right),f\left(e_2\right),f\left(e_3\right)\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)}$

となる．

 

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最終更新日： 2025年1月17日