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応用分野: 逆行列

逆行列の性質

ここでは,逆行列の性質について示す.

  • 逆行列の逆行列

    A  が正則行列なら, A 1  も正則行列で

    ( A 1 ) 1 =A

  • 行列の積の逆行列

    A B  が正則行列なら, AB  も正則行列で

    ( AB ) 1 = B 1 A 1

■証明

( A 1 ) 1 =A の証明

A の逆行列が A 1 であることより

A 1 A=A A 1 =E

が成り立つ.

正則行列の定義より, A 1 は正則行列で, A 1 の逆行列は A である.

式で表すと

( A 1 ) 1 =A

である.

( AB ) 1 = B 1 A 1 の証明

A B が正則行列であるので逆行列が存在し, A の逆行列を A 1 B の逆行列を B 1 とする.

行列の計算より

( AB )( B 1 A 1 )=A( B B 1 ) A 1 =AE A 1 =A A 1 =E

( B 1 A 1 )( AB )=B( A A 1 ) B 1 =BE B 1 =B B 1 =E

よって

( AB )( B 1 A 1 )=( B 1 A 1 )( AB )=E

が成り立つ.

したがって,正則行列の定義より AB は正則行列で

AB の逆行列 ( AB ) 1 B 1 A 1 となる.

 

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最終更新日: 2022年6月23日

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