次数下げの計算例1

ここでは，行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す．

■問題

次の行列式を求めよ．ただし，答は因数分解された形で示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 1& b& b^2\\ 1& c& c^2\end{array}\right|}$

■解法

・1列目の1行目の成分以外を0にしてから解く方法

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 1& b& b^2\\ 1& c& c^2\end{array}\right|}$

1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算を行う．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 1+1\times \left(-1\right)& b+a\times \left(-1\right)& b^2+a^2\times \left(-1\right)\\ 1+1\times \left(-1\right)& c+a\times \left(-1\right)& c^2+a^2\times \left(-1\right)\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 0& b-a& b^2-a^2\\ 0& c-a& c^2-a^2\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

${\displaystyle =1\times \left|\begin{array}{cc}b-a& b^2-a^2\\ c-a& c^2-a^2\end{array}\right|}$

3列の成分を因数分解する．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}b-a& \left(b-a\right)\left(b+a\right)\\ c-a& \left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{array}\right|}$

定数倍の性質より，2行の ${\displaystyle \left(b-a\right)}$ と，3行の ${\displaystyle \left(c-a\right)}$ を行列式の外にくくり出す．

${\displaystyle =\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left|\begin{array}{cc}1& b+a\\ 1& c+a\end{array}\right|}$

行列式の値を求める．

${\displaystyle =\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c+a-b-a\right)}$

${\displaystyle =\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$

${\displaystyle =\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

・1行目の1列目の成分以外を0にしてから解く方法

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 1& b& b^2\\ 1& c& c^2\end{array}\right|}$

1行目の1列目以外の成分を0にするため，行列式の計算則を利用し，2列+1列 ${\displaystyle \times \left(-a\right)}$ ，3列+1列 ${\displaystyle \times \left(-a^2\right)}$ の計算を行う．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& a+1\times \left(-a\right)& a^2+1\times \left(-a^2\right)\\ 1& b+1\times \left(-a\right)& b^2+1\times \left(-a^2\right)\\ 1& c+1\times \left(-a\right)& c^2+1\times \left(-a^2\right)\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& b-a& b^2-a^2\\ 1& c-a& c^2-a^2\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

${\displaystyle =1\times \left|\begin{array}{cc}b-a& b^2-a^2\\ c-a& c^2-a^2\end{array}\right|}$

3列の成分を因数分解する．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}b-a& \left(b-a\right)\left(b+a\right)\\ c-a& \left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{array}\right|}$

定数倍の性質より，2行の共通因数 ${\displaystyle \left(b-a\right)}$ と，3行の共通因数 ${\displaystyle \left(c-a\right)}$ を行列式の外にくくり出す．

${\displaystyle =\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left|\begin{array}{cc}1& b+a\\ 1& c+a\end{array}\right|}$

行列式の値を求める．

${\displaystyle =\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c+a-b-a\right)}$

${\displaystyle =\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$

${\displaystyle =\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

　

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最終更新日： 2025年4月22日