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次数下げの計算例1

ここでは,行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す.

■問題

次の行列式を求めよ.ただし,答は因数分解された形で示せ.

| 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 |

■解法

・1列目の1行目の成分以外を0にしてから解く方法

| 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 |

1列目の1行目の成分以外を0にするため,行列式の計算則を利用し,2行+1行×(-1),3行+1行×(-1)の計算を行う.

=| 1 a a 2 1+1×1 b+a×1 b 2 + a 2 ×1 1+1×1 c+a×1 c 2 + a 2 ×1 |

=| 1 a a 2 0 ba b 2 a 2 0 ca c 2 a 2 |

次数下げの計算を用い,3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる.

=1×| ba b 2 a 2 ca c 2 a 2 |

3列の成分を因数分解する.

=| ba ( ba )( b+a ) ca ( ca )( c+a ) |

定数倍の性質より,2行の ( ba ) と,3行の ( ca ) を行列式の外にくくり出す.

=( ba )( ca )| 1 b+a 1 c+a |

行列式の値を求める.

=( ba )( ca ){ 1×( c+a )1×( b+a ) }

=( ba )( ca )( c+aba )

=( ba )( ca )( cb )

= ab bc ca

・1行目の1列目の成分以外を0にしてから解く方法

| 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 |

1行目の1列目以外の成分を0にするため,行列式の計算則を利用し,2列+1列 × a ,3列+1列 × a 2 の計算を行う.

= 1 a+1× a a 2 +1× a 2 1 b+1× a b 2 +1× a 2 1 c+1× a c 2 +1× a 2

=| 1 0 0 1 ba b 2 a 2 1 ca c 2 a 2 |

次数下げの計算を用い,3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる.

=1×| ba b 2 a 2 ca c 2 a 2 |

3列の成分を因数分解する.

=| ba ( ba )( b+a ) ca ( ca )( c+a ) |

定数倍の性質より,2行の共通因子 ( ba ) と,3行の共通因子 ( ca ) を行列式の外にくくり出す.

=( ba )( ca )| 1 b+a 1 c+a |

行列式の値を求める.

=( ba )( ca ){ 1×( c+a )1×( b+a ) }

=( ba )( ca )( c+aba )

=( ba )( ca )( cb )

= ab bc ca

 

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最終更新日: 2022年8月27日

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