1次独立であるための必要十分条件

$n$ 個の $n$ 次列ベクトル

$(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \\ ⋮ \\ a_{n 2} \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \\ ⋮ \\ a_{n 3} \end{matrix})$ ，･･･， $(\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ a_{3 n} \\ ⋮ \\ a_{n n} \end{matrix})$

が１次独立であるための必要十分条件は，各列ベクトルを列の成分とする $n$ 次行列式の値 $|A|$ が

$|A| = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \dots & a_{n n} \end{matrix}| \neq 0$

である．

■証明

証明では，行列式の次数が分かるように行列の記号の右下および成分の記号の右上に次数を記入することにする．ベクトルに関しても次数が分かるようにベクトルの記号および、ベクトルの記号の右上に次数を記入する.

$a_{1}^{n} = (\begin{matrix} a_{11}^{n} \\ a_{21}^{n} \\ a_{31}^{n} \\ ⋮ \\ a_{n 1}^{n} \end{matrix})$ ， $a_{2}^{n} = (\begin{matrix} a_{12}^{n} \\ a_{22}^{n} \\ a_{32}^{n} \\ ⋮ \\ a_{n 2}^{n} \end{matrix})$ ， $a_{3}^{n} = (\begin{matrix} a_{1 n}^{n} \\ a_{2 n}^{n} \\ a_{3 n}^{n} \\ ⋮ \\ a_{n n}^{n} \end{matrix})$ ，･･･， $a_{n}^{n} = (\begin{matrix} a_{1 n}^{n} \\ a_{2 n}^{n} \\ a_{3 n}^{n} \\ ⋮ \\ a_{n n}^{n} \end{matrix})$ の $n$ 次元ベクトルの組を考え，各列ベクトルを行列の列の成分とする行列を

$A_{n} = (\begin{matrix} a_{11}^{n} & a_{12}^{n} & a_{13}^{n} & \dots & a_{1 n}^{n} \\ a_{21}^{n} & a_{22}^{n} & a_{23}^{n} & \dots & a_{2 n}^{n} \\ a_{31}^{n} & a_{32}^{n} & a_{33}^{n} & \dots & a_{3 n}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1}^{n} & a_{n 2}^{n} & a_{n 3}^{n} & \dots & a_{n n}^{n} \end{matrix})$

で，その行列式を

$|A_{n}| = |\begin{matrix} a_{11}^{n} & a_{12}^{n} & a_{13}^{n} & \dots & a_{1 n}^{n} \\ a_{21}^{n} & a_{22}^{n} & a_{23}^{n} & \dots & a_{2 n}^{n} \\ a_{31}^{n} & a_{32}^{n} & a_{33}^{n} & \dots & a_{3 n}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1}^{n} & a_{n 2}^{n} & a_{n 3}^{n} & \dots & a_{n n}^{n} \end{matrix}|$

で表すとする．

●「 $|A_{n}| \neq 0$ ⇒ $a_{1}^{n}$ ， $a_{2}^{n}$ ， $a_{3}^{n}$ ，･･･， $a_{n}^{n}$ が1次独立」の証明

$c_{1} a_{1}^{n} + c_{2} a_{2}^{n} + c_{3} a_{3}^{n} + \dots + c_{n} a_{n}^{n} = 0$ 　･･････(1)

とおく，(1)をベクトルの成分を用いて式を書き換えると

$c_{1} (\begin{matrix} a_{11}^{n} \\ a_{21}^{n} \\ a_{31}^{n} \\ ⋮ \\ a_{n 1}^{n} \end{matrix}) + c_{2} (\begin{matrix} a_{12}^{n} \\ a_{22}^{n} \\ a_{32}^{n} \\ ⋮ \\ a_{n 2}^{n} \end{matrix}) + c_{3} (\begin{matrix} a_{1 n}^{n} \\ a_{2 n}^{n} \\ a_{3 n}^{n} \\ ⋮ \\ a_{n n}^{n} \end{matrix}) + \dots + c_{n} (\begin{matrix} a_{1 n}^{n} \\ a_{2 n}^{n} \\ a_{3 n}^{n} \\ ⋮ \\ a_{n n}^{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})$

さらに，行列を用いた形式に書き直すと

$(\begin{matrix} a_{11}^{n} & a_{12}^{n} & a_{13}^{n} & \dots & a_{1 n}^{n} \\ a_{21}^{n} & a_{22}^{n} & a_{23}^{n} & \dots & a_{2 n}^{n} \\ a_{31}^{n} & a_{32}^{n} & a_{33}^{n} & \dots & a_{3 n}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1}^{n} & a_{n 2}^{n} & a_{n 3}^{n} & \dots & a_{n n}^{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})$

となる．

$|A_{n}| \neq 0$ であれば，行列 $A_{n}$ の逆行列 $A_{n}^{- 1}$ が存在(ここを参照)し

$(\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} a_{11}^{n} & a_{12}^{n} & a_{13}^{n} & \dots & a_{1 n}^{n} \\ a_{21}^{n} & a_{22}^{n} & a_{23}^{n} & \dots & a_{2 n}^{n} \\ a_{31}^{n} & a_{32}^{n} & a_{33}^{n} & \dots & a_{3 n}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1}^{n} & a_{n 2}^{n} & a_{n 3}^{n} & \dots & a_{n n}^{n} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})$

となり，(1)の左辺の1次結合の係数 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ，…， $c_{n}$ がすべてゼロになる.

すなわち

$|A_{n}| \neq 0$ ⇒ $a_{1}^{n}$ ， $a_{2}^{n}$ ， $a_{3}^{n}$ ，･･･， $a_{n}^{n}$ が1次独立

である．

●「 $a_{1}^{n}$ ， $a_{2}^{n}$ ， $a_{3}^{n}$ ，･･･， $a_{n}^{n}$ が1次独立⇒ $|A_{n}| \neq 0$ 」の証明

$a_{1}^{n}$ ， $a_{2}^{n}$ ， $a_{3}^{n}$ ，･･･， $a_{n}^{n}$ が1次独立であるので， $a_{1}^{n}$ の成分の少なくとも1つはゼロでない．ゼロでない成分が $a_{i_{1} 1}^{n}$ であるとする．

行列 $|A_{n}|$ に対して，2列＋1列 $\times (- \frac{a_{i_{1} 2}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}})$ ，3列＋1列 $\times (- \frac{a_{i_{1} 3}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}})$ ，･･･， $n$ 列＋1列 $\times (- \frac{a_{i_{1} n}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}})$ の操作をすると，行列式 $|A_{n}|$ の $i_{1}$ 行目の成分は，以下のように1列目以外はすべて0になる．

$|A_{n}| = |\begin{matrix} a_{11}^{n} & b_{12}^{n} & a_{13}^{n} & \dots & \dots & \dots & b_{1 n}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{(i_{1} - 1) 1}^{n} & b_{1 (i_{1} - 1) 2}^{n} & b_{(i_{1} - 1) 3}^{n} & \dots & \dots & \dots & b_{(i_{1} - 1) n}^{n} \\ a_{i_{1} 1}^{n} & 0 & 0 & ⋱ & 0 \\ a_{(i_{1} + 1) 1}^{n} & b_{(i_{1} + 1) 2}^{n} & b_{(i_{1} + 1) 3}^{n} & ⋱ & b_{(i_{1} + 1) n}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1}^{n} & b_{n 2}^{n} & b_{n 3}^{n} & \dots & \dots & \dots & b_{n n}^{n} \end{matrix}|$

行列式 $|A_{n}|$ の2列目以降の各列の成分から成るベクトルを

$b_{2}^{n} = (\begin{matrix} b_{12}^{n} \\ ⋮ \\ b_{(i - 1) 2}^{n} \\ b_{i 2}^{n} \\ b_{(i + 1) 2}^{n} \\ ⋮ \\ b_{n 2}^{n} \end{matrix})$ ， $b_{3}^{n} = (\begin{matrix} b_{13}^{n} \\ ⋮ \\ b_{(i - 1) 3}^{n} \\ b_{i 3}^{n} \\ b_{(i + 1) 3}^{n} \\ ⋮ \\ b_{n 3}^{n} \end{matrix})$ ，，･･･， $b_{n}^{n} = (\begin{matrix} b_{1 n}^{n} \\ ⋮ \\ b_{(i - 1) n}^{n} \\ b_{i 3}^{n} \\ b_{(i + 1) n}^{n} \\ ⋮ \\ b_{n n}^{n} \end{matrix})$

とおくと， $a_{1}^{n}$ ， $a_{2}^{n}$ ， $a_{3}^{n}$ ，…， $a_{n}^{n}$ と $b_{2}^{n}$ ， $b_{3}^{n}$ ，…， $b_{n}^{n}$ の間には

$b_{2}^{n} = a_{2}^{n} - \frac{a_{i_{1} 2}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} a_{1}^{n}$ ， $b_{3}^{n} = a_{3}^{n} - \frac{a_{i_{1} 3}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} a_{1}^{n}$ ，･･･， $b_{n}^{n} = a_{n}^{n} - \frac{a_{i_{1} n}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} a_{1}^{n}$ 　･･････(2)

のような関係がある.

$d_{2} b_{2}^{n} + d_{3} b_{3}^{n} + d_{4} b_{4}^{n} + \dots + d_{n} b_{n}^{n} = 0$ 　･･････(3)

とおき，(3)に(2)を代入し，式を整理すると

$d_{2} (a_{2}^{n} - \frac{a_{i_{1} 2}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} a_{1}^{n}) + d_{3} (a_{3}^{n} - \frac{a_{i_{1} 3}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} a_{1}^{n})$ $+ d_{4} (a_{4}^{n} - \frac{a_{i_{1} 4}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} a_{1}^{n})$ $+ \dots + d_{n} (a_{n}^{n} - \frac{a_{i_{1} n}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} a_{1}^{n}) = 0$

$- (d_{2} \frac{a_{i_{1} 2}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} + d_{3} \frac{a_{i_{1} 3}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} + d_{4} \frac{a_{i_{1} 4}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}} + \dots + d_{n} \frac{a_{i_{1} n}^{n}}{a_{i_{1} 1}^{n}}) a_{1}^{n}$ $+ d_{2} a_{2}^{n} + d_{3} a_{3}^{n} + d_{4} a_{4}^{n}$ $+ \dots + d_{n} a_{n}^{n} = 0$ 　･･････(4)

となる．

$a_{1}^{n}$ ， $a_{2}^{n}$ ， $a_{3}^{n}$ ，･･･， $a_{n}^{n}$ が1次独立であるので，

$d_{2} = d_{3} = d_{4} = \dots = d_{n} = 0$

となり， $b_{2}^{n}$ ， $b_{3}^{n}$ ，…， $b_{n}^{n}$ は1次独立となっている．

$|A_{n}|$ を $i_{1}$ 行で余因子展開をすると

$|A_{n}| = a_{i_{1} 1}^{n} |\begin{matrix} b_{12}^{n} & a_{13}^{n} & \dots & \dots & \dots & b_{1 n}^{n} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{1 (i_{1} - 1) 2}^{n} & b_{(i_{1} - 1) 3}^{n} & ⋱ & b_{(i_{1} - 1) n}^{n} \\ b_{(i_{1} + 1) 2}^{n} & b_{(i_{1} + 1) 3}^{n} & ⋱ & b_{(i_{1} + 1) n}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ b_{n 2}^{n} & b_{n 3}^{n} & \dots & \dots & \dots & b_{n n}^{n} \end{matrix}|$ 　･･････(5)

となる．

$b_{2}^{n} = (\begin{matrix} b_{12}^{n} \\ ⋮ \\ b_{1 (i_{1} - 1) 2}^{n} \\ b_{(i_{1} + 1) 2}^{n} \\ ⋮ \\ b_{n 2}^{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11}^{n - 1} \\ a_{21}^{n - 1} \\ a_{31}^{n - 1} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ a_{(n - 1) 1}^{n - 1} \end{matrix}) = a_{1}^{n - 1}$ ， $b_{3}^{n} = (\begin{matrix} b_{13}^{n} \\ ⋮ \\ b_{1 (i_{1} - 1) 3}^{n} \\ b_{(i_{1} + 1) 3}^{n} \\ ⋮ \\ b_{n 3}^{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{12}^{n - 1} \\ a_{22}^{n - 1} \\ a_{32}^{n - 1} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ a_{(n - 1) 2}^{n - 1} \end{matrix}) = a_{2}^{n - 1}$ ,･･･， $b_{n}^{n} = (\begin{matrix} b_{1 n}^{n} \\ ⋮ \\ b_{1 (i_{1} - 1) n}^{n} \\ b_{(i_{1} + 1) n}^{n} \\ ⋮ \\ b_{n n}^{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1 (n - 1)}^{n - 1} \\ a_{2 (n - 1)}^{n - 1} \\ a_{3 (n - 1)}^{n - 1} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ a_{(n - 1) (n - 1)}^{n - 1} \end{matrix}) = a_{n - 1}^{n - 1}$

とおき，新たに $n - 1$ 次行列式 $|A_{n - 1}|$

$|A_{n - 1}| = |\begin{matrix} a_{11}^{n - 1} & a_{12}^{n - 1} & \dots & \dots & \dots & a_{1 (n - 1)}^{n - 1} \\ a_{21}^{n - 1} & a_{22}^{n - 1} & a_{2 (n - 1)}^{n - 1} \\ a_{31}^{n - 1} & a_{32}^{n - 1} & ⋱ & a_{3 (n - 1)}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{(n - 1) 1}^{n - 1} & a_{(n - 1) 2}^{n - 1} & \dots & \dots & \dots & a_{(n - 1) (n - 1)}^{n - 1} \end{matrix}|$

を定義すると，（5）は

$|A_{n}| = a_{i_{1} 1}^{n} |A_{n - 1}|$ 　･･････(6)

と書き換えることができる.

$b_{2}^{n}$ ， $b_{3}^{n}$ ，…， $b_{n}^{n}$ は1次独立であることより， $a_{1}^{n - 1}$ ， $a_{2}^{n - 1}$ ，…， $a_{n - 1}^{n - 1}$ も1次独立となる．

同様な操作を $|A_{n - 1}|$ に対して行うと

$|A_{n - 1}| = a_{i_{2} 1}^{n} |A_{n - 2}|$ 　･･････（7）

が得られる．さらに，同様な操作を更に $n - 2$ 回繰り返えすと

$|A_{n}| = a_{i_{1} 1}^{n} |A_{n - 1}| = a_{i_{1} 1}^{n} a_{i_{2} 1}^{n - 1} |A_{n - 2}|$ $= \dots = a_{i_{1} 1}^{n} a_{i_{2} 1}^{n - 1} \dots a_{i_{n - 1} 1}^{2} |A_{1}|$ $= a_{i_{1} 1}^{n} a_{i_{2} 1}^{n - 1} \dots a_{i_{n - 1} 1}^{2} a_{i_{n} 1}^{1}$ 　･･････(8)

の関係が得られる．

$a_{i_{1} 1}^{n}$ ， $a_{i_{2} 1}^{n - 1}$ ，･･･， $a_{i_{n - 1} 1}^{2}$ ， $a_{i_{n} 1}^{1}$ ，はゼロでないので

$a_{i_{1} 1}^{n} a_{i_{2} 1}^{n - 1} \dots a_{i_{n - 1} 1}^{2} a_{i_{n} 1}^{1} \neq 0$

すなわち

$|A_{n}| \neq 0$

となり

$a_{1}^{n}$ ， $a_{2}^{n}$ ， $a_{3}^{n}$ ，･･･， $a_{n}^{n}$ が1次独立⇒ $|A_{n}| \neq 0$

となる．

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最終更新日：2022年9月6日

1次独立であるための必要十分条件

■証明

●「 A n ≠0 ⇒ a 1 n ， a 2 n ， a 3 n ，･･･， a n n が1次独立」の証明

●「 a 1 n ， a 2 n ， a 3 n ，･･･， a n n が1次独立⇒ A n ≠0 」の証明

●「 $|A_{n}| \neq 0$ ⇒ $a_{1}^{n}$ ， $a_{2}^{n}$ ， $a_{3}^{n}$ ，･･･， $a_{n}^{n}$ が1次独立」の証明

●「 $a_{1}^{n}$ ， $a_{2}^{n}$ ， $a_{3}^{n}$ ，･･･， $a_{n}^{n}$ が1次独立⇒ $|A_{n}| \neq 0$ 」の証明