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正則行列であるための必要十分条件

正方行列 A 正則行列であるための必要十分条件

A 0

である.

■証明

●「正則行列 A 0 」 であることの証明

A が正則行列であれば,

B=BA=E  ・・・・・・(1)

となる正方行列 B が存在する.

行列の積の行列式に関する定理と(1)より

AB = A · B = E =1

したがって

A 0

となる.

●「 A 0 正則行列 」の証明

n 次の正方行列 A

A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n1 a nn

に左から A 余因子行列 A ˜

A ˜ = a ˜ 11 a ˜ 12 a ˜ 1n a ˜ 21 a ˜ 22 a ˜ 2n a ˜ n1 a ˜ n2 a ˜ nn

かけると

A ˜ A = a ˜ 11 a ˜ 21 a ˜ n1 a ˜ 12 a ˜ 22 a ˜ n2 a ˜ 1n a ˜ 2n a ˜ nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = k=1 n a ˜ k1 a k1 k=1 n a ˜ k1 a k2 k=1 n a ˜ k1 a kn k=1 n a ˜ k2 a k1 k=1 n a ˜ k2 a k2 k=1 n a ˜ k2 a kn k=1 n a ˜ kn a k1 k=1 n a ˜ kn a k2 k=1 n a ˜ kn a kn = A 0 0 0 A 0 0 0 A = A E

(行列式の展開を参照)

すなわち

A ˜ A= A E  ・・・・・・(2)

となる.

A 0 であれば,(2)の両辺を A で割ることができ

1 A A ˜ A=E  ・・・・・・(3)

が成り立つ.

次に, A の右から A ˜ をかけると

A A ˜ = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a ˜ 11 a ˜ 21 a ˜ n1 a ˜ 12 a ˜ 22 a ˜ n2 a ˜ 1n a ˜ 2n a ˜ nn = k=1 n a 1k a ˜ 1k k=1 n a 1k a ˜ 2k k=1 n a 1k a ˜ nk k=1 n a 2k a ˜ 1k k=1 n a 2k a ˜ 2k k=1 n a 2k a ˜ nk k=1 n a nk a ˜ 1k k=1 n a nk a ˜ 2k k=1 n a nk a ˜ nk = A 0 0 0 A 0 0 0 A = A E

すなわち

A A ˜ = A E  ・・・・・・(4)

となる.

A 0 であれば,(2)の両辺を A で割ることができ

A 1 A A ˜ =E  ・・・・・・(5)

が成り立つ.

B= 1 A A ˜

とおくと,(3),(5)より

AB=BA=E

が成り立ち, A 正則行列である.そして, A 逆行列 A 1

A 1 = 1 A A ˜ = 1 A a ˜ 11 a ˜ 21 a ˜ n1 a ˜ 12 a ˜ 22 a ˜ n2 a ˜ 1n a ˜ 2n a ˜ nn

となる.

 

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最終更新日:2022年7月25日

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