正則行列であるための必要十分条件

正方行列 $A$ が正則行列であるための必要十分条件は

$|A| \neq 0$

である．

■証明

●「正則行列 $\Rightarrow$ $|A| \neq 0$ 」であることの証明

$A$ が正則行列であれば，

$B = B A = E$ 　･･････(1)

となる正方行列 $B$ が存在する．

行列の積の行列式に関する定理と(1)より

$|A B| = |A| \cdot |B| = |E| = 1$

したがって

$|A| \neq 0$

となる．

●「 $|A| \neq 0$ $\Rightarrow$ 正則行列」の証明

$n$ 次の正方行列 $A$

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

に左から $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を

$\tilde{A} = (\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{12} & \dots & {\tilde{a}}_{1 n} \\ {\tilde{a}}_{21} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{n 1} & {\tilde{a}}_{n 2} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{matrix})$

かけると

$\tilde{A} A$ $= (\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{21} & \dots & {\tilde{a}}_{n 1} \\ {\tilde{a}}_{12} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{1 n} & {\tilde{a}}_{2 n} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} {\tilde{a}}_{k 1} a_{k 1} & \sum_{k = 1}^{n} {\tilde{a}}_{k 1} a_{k 2} & \dots & \sum_{k = 1}^{n} {\tilde{a}}_{k 1} a_{k n} \\ \sum_{k = 1}^{n} {\tilde{a}}_{k 2} a_{k 1} & \sum_{k = 1}^{n} {\tilde{a}}_{k 2} a_{k 2} & \dots & \sum_{k = 1}^{n} {\tilde{a}}_{k 2} a_{k n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{k = 1}^{n} {\tilde{a}}_{k n} a_{k 1} & \sum_{k = 1}^{n} {\tilde{a}}_{k n} a_{k 2} & \dots & \sum_{k = 1}^{n} {\tilde{a}}_{k n} a_{k n} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} |A| & 0 & \dots & 0 \\ 0 & |A| & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & |A| \end{matrix})$ $= |A| E$

(行列式の展開を参照)

すなわち

$\tilde{A} A = |A| E$ 　･･････(2)

となる．

$|A| \neq 0$ であれば，(2)の両辺を $|A|$ で割ることができ

$\frac{1}{|A|} \tilde{A} A = E$ 　･･････（3)

が成り立つ.

次に， $A$ の右から $\tilde{A}$ をかけると

$A \tilde{A}$ $= (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{21} & \dots & {\tilde{a}}_{n 1} \\ {\tilde{a}}_{12} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{1 n} & {\tilde{a}}_{2 n} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} a_{1 k} {\tilde{a}}_{1 k} & \sum_{k = 1}^{n} a_{1 k} {\tilde{a}}_{2 k} & \dots & \sum_{k = 1}^{n} a_{1 k} {\tilde{a}}_{n k} \\ \sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} {\tilde{a}}_{1 k} & \sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} {\tilde{a}}_{2 k} & \dots & \sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} {\tilde{a}}_{n k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{k = 1}^{n} a_{n k} {\tilde{a}}_{1 k} & \sum_{k = 1}^{n} a_{n k} {\tilde{a}}_{2 k} & \dots & \sum_{k = 1}^{n} a_{n k} {\tilde{a}}_{n k} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} |A| & 0 & \dots & 0 \\ 0 & |A| & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & |A| \end{matrix})$ $= |A| E$

すなわち

$A \tilde{A} = |A| E$ 　･･････(4)

となる．

$|A| \neq 0$ であれば，(2)の両辺を $|A|$ で割ることができ

$A (\frac{1}{|A|} \tilde{A}) = E$ 　･･････（5)

が成り立つ.

$B = \frac{1}{|A|} \tilde{A}$

とおくと，(3),(5)より

$A B = B A = E$

が成り立ち， $A$ は正則行列である．そして, $A$ の逆行列 $A^{- 1}$ は

$A^{- 1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}$ $= \frac{1}{|A|} (\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{21} & \dots & {\tilde{a}}_{n 1} \\ {\tilde{a}}_{12} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{1 n} & {\tilde{a}}_{2 n} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{matrix})$

となる．

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最終更新日：2022年7月25日

正則行列であるための必要十分条件

■証明

●「正則行列 ⇒ A ≠0 」 であることの証明

●「 A ≠0 ⇒ 正則行列 」の証明

●「正則行列 $\Rightarrow$ $|A| \neq 0$ 」であることの証明

●「 $|A| \neq 0$ $\Rightarrow$ 正則行列」の証明