実対称行列の固有ベクトルの直交性

■定理

実対称行列 ${\displaystyle A}$ の相異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する．

■証明

実対称行列 ${\displaystyle A}$ の相異なる固有値を${\displaystyle {\lambda }_i}$ ，${\displaystyle {\lambda }_j}$とし，${\displaystyle {\lambda }_i}$に対応する固有ベクトルを${\displaystyle x_i}$，${\displaystyle {\lambda }_j}$する固有ベクトルを${\displaystyle x_j}$とする.

すなわち

${\displaystyle {}^{t}A=A}$

${\displaystyle A{x}_i={\lambda }_i{x}_i}$

${\displaystyle A{x}_j={\lambda }_j{x}_i}$

とする．

${\displaystyle x_i\cdot \left(A{x}_j\right)={}^{t}x{}_i\left(A{x}_j\right)}$${\displaystyle ={}^{t}x{}_i\left({\lambda }_j{x}_j\right)}$${\displaystyle ={\lambda }_j{}^{t}x{}_i\left(x_j\right)}$${\displaystyle ={\lambda }_j\left(x_i\cdot x_j\right)}$　･･････(1)

${\displaystyle x_i\cdot \left(A{x}_j\right)={}^{t}x{}_i\left(A{x}_j\right)}$${\displaystyle ={}^{t}x{}_{i}A{x}_j}$${\displaystyle =\left({}^{t}x{}_i{}^{t}A\right)x_j}$${\displaystyle =\left(A{x}_i\right){}^{t}x{}_j}$${\displaystyle =\left({\lambda }_i{x}_j\right){}^{t}x{}_i}$${\displaystyle ={\lambda }_i\left(x_j{}^t\right)x_i}$${\displaystyle ={\lambda }_i\left(x_i\cdot x_j\right)}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle {\lambda }_j\left(x_i\cdot x_j\right)={\lambda }_i\left(x_j\cdot x_i\right)}$

となる．${\displaystyle {\lambda }_i\ne {\lambda }_j}$ より

${\displaystyle x_i\cdot x_j=0}$

となり，${\displaystyle x_i}$ と${\displaystyle x_j}$は直交している．

　

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最終更新2022年9月5日