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応用分野: 多元1次方程式の解(行列式を用いた表示)

3元1次方程式の解

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 (1) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (2) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 (3)

x 3 を消去する.

(1)× a 23
a 11 a 23 x 1 + a 12 a 23 x 2 + a 13 a 23 x 3 = a 23 b 1 ・・・・・・(4)

(2)× a 13
a 13 a 21 x 1 + a 13 a 22 x 2 + a 13 a 23 x 3 = a 13 b 2 ・・・・・・(5)

(4)−(5)
( a 11 a 23 a 13 a 21 ) x 1 +( a 12 a 23 a 13 a 22 ) x 2 = a 23 b 1 a 13 b 2 ・・・・・・(6)

(1)× a 33
a 11 a 33 x 1 + a 12 a 33 x 2 + a 13 a 33 x 3 = a 33 b 1 ・・・・・・(7)

(3)× a 13
a 13 a 31 x 1 + a 13 a 32 x 2 + a 13 a 33 x 3 = a 13 b 3 ・・・・・・(8)

(7)−(8)
( a 11 a 33 a 13 a 31 ) x 1 +( a 12 a 33 a 13 a 32 ) x 2 = a 33 b 1 a 13 b 3 ・・・・・・(9)

x 2 を消去する.

(6)× ( a 12 a 33 a 13 a 32 ) −(9)× ( a 12 a 23 a 13 a 22 )

{ ( a 12 a 33 a 13 a 32 )( a 11 a 23 a 13 a 21 )( a 12 a 23 a 13 a 22 )( a 11 a 33 a 13 a 31 ) } x 1 =( a 12 a 33 a 13 a 32 )( a 23 b 1 a 13 b 2 )( a 12 a 23 a 13 a 22 )( a 33 b 1 a 13 b 3 )

x 1 の係数

a 12 a 33 a 11 a 23 a 12 a 33 a 13 a 21 a 13 a 32 a 11 a 23 + a 13 a 32 a 13 a 21 a 12 a 23 a 11 a 33 + a 12 a 23 a 13 a 31 + a 13 a 22 a 11 a 33 a 13 a 22 a 13 a 31

= a 12 a 13 a 21 a 33 a 11 a 13 a 23 a 32 + a 13 a 13 a 21 a 32 + a 12 a 13 a 23 a 31 + a 11 a 13 a 22 a 33 a 13 a 13 a 22 a 31

= a 13 ( a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 )

定数項

a 12 a 33 a 23 b 1 a 12 a 33 a 13 b 2 a 13 a 32 a 23 b 1 + a 13 a 32 a 13 b 2 a 12 a 23 a 33 b 1 + a 12 a 23 a 13 b 3 + a 13 a 22 a 33 b 1 a 13 a 22 a 13 b 3

= a 12 a 13 a 33 b 2 a 13 a 23 a 32 b 1 + a 13 a 13 a 32 b 2 + a 12 a 13 a 23 b 3 + a 13 a 22 a 33 b 1 a 13 a 13 a 22 b 3

= a 13 ( a 22 a 33 b 1 a 23 a 32 b 1 + a 13 a 32 b 2 a 12 a 33 b 2 + a 12 a 23 b 3 a 13 a 22 b 3 )

よって,整理すると

x 1 = a 13 a 22 a 33 b 1 a 23 a 32 b 1 + a 13 a 32 b 2 a 12 a 33 b 2 + a 12 a 23 b 3 a 13 a 22 b 3 a 13 a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31

= b 1 a 22 a 33 b 1 a 23 a 32 + b 2 a 13 a 32 b 2 a 12 a 33 + b 3 a 12 a 23 b 3 a 13 a 22 a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31

行列式を用いて表すと

x 1 = b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2022年10月18日

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