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部分空間 (subspace)

ベクトル空間の空でない部分集合で，かつ，ベクトル空間であるものを部分空間(subspace)といいう。

言い換えると，ベクトル空間${\displaystyle V}$の部分集合${\displaystyle W}$が，以下の2を満たしているとき，${\displaystyle W}$は部分空間となる．

(1) ${\displaystyle x_1\in W,x_2\in W\Rightarrow x_1+x_2\in W}$

(2) ${\displaystyle x\in W,c\in R\Rightarrow cx\in W}$　　${\displaystyle R}$は実数全体を意味する．

(1)を満たしていると，部分集合${\displaystyle W}$は「スカラー倍に関して閉じている」といい，(2)を満たしていると， 部分集合${\displaystyle W}$は「和に関して閉じている」という．

${\displaystyle n}$次元ベクトル空間${\displaystyle V}$の${\displaystyle r}$個のベクトルの組み${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_r\right\}}$の1次結合の集合全体

のことを${\displaystyle v_1,v_2,\cdots ,v_r}$ で張られる(または生成される)部分空間といい

${\displaystyle 〈v_1,v_2,\cdots ,v_r〉}$

で表す．

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最終更新日：2022年5月20日

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