共分散（covariance）

共分散とは，2つの変量が平均からのずれ(偏差)に注目したとき，2つの変量が同じ向きに変化するか，反対向きに変化するかを表す量である．変量 $X$ と変量 $Y$ の対なっている ${\displaystyle n}$ 個のデータ $\left(x_1,y_1\right)$ ， $\left(x_2,y_2\right)$ ， $\cdots$ ， $\left(x_n,y_n\right)$ の $x$ と $y$ の 平均値を $\overline{x}$ ， $x$ と $y$ の 平均値を $\overline{x}$ とすると共分散 $s_{xy}$ は

によって求められる．

備考：高校では，共分散についても，今あるデータから求めた値であることを表し，母集団全体の量と区別しやすくするために， $\sigma$ ではなく $s$ を用いることがある．

■解説

解説で使用するデータを下の表に示す．図はデータの散布図(各データに対応する点を描き，点の左下にデータの番号が表示されている)に． ${\displaystyle \text{M}\left(\overline{x},\overline{y}\right)=\left(5,4.5\right)}$ の点を追加し，この点から $x$ 軸， $y$ 軸に平行な直線を点線で描いている．さらに，各点から ${\displaystyle \left(\overline{x},\overline{y}\right)}$ の点から伸びている直線に垂線を下し，直線との交点の右下には交点名が表示されている．

以下に表を使った共分散の計算を示す．

${\displaystyle \left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}$ の絶対値は，点 $i$ ，点 $x_i$ ，点 $\text{M}$ ，点 $y_i$ を結んだ長方形の面積になり，データが図の赤色の領域にあれば正の値，青色の領域にあれば負の値になる．この場合，共分散は約4.33 となった．

共分散の値が

正のとき，データは赤い領域に多く存在することになり，2つの変量が同じ向きに変化する．

負のとき，データは青い領域に多く存在することになり，2つの変量が反対向きに変化する．

傾向がある．

■インターラクティブグラフ

10個のデータ点をドラッグして動かしてください．データの値の変化に応じて変量 $X$の分散 ${\displaystyle s_x{}^2}$ ，変量 $Y$の分散 ${\displaystyle s_y{}^2}$，共分散 ${\displaystyle s_{xy}}$ ，相関係数 ${\displaystyle r}$ が変化する．

 

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最終更新日：2026年3月14日