分散（variance）

分散は偏差の2乗平均値のことである．変量 $X$ の $n$ 個のデータ $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ によるデータの平均値を $\bar{x}$ とすると分散 $s^{2}$ は

$s^{2} = \frac{1}{n} \{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}\}$ 　･･････(1)

によって求められる．分散はデータの散らばり具合を表す指標であり，その値が大きいほどデータは平均から広く散らばっている．

備考：高校では，分散は「手元のデータから求めた散らばり」として扱うことが多いため $s^{2}$ を使うことがある． $σ^{2}$ は母集団全体の分散に使われることが多いので，区別しやすくするためである．

(1)の右辺を展開し整理すると

$s^{2} = \frac{1}{n} \{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}\}$

$= \frac{1}{n} \{x_{1}^{2} - 2 x_{1} \bar{x} + {\bar{x}}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} \bar{x} + {\bar{x}}^{2} + \dots + x_{n}^{2} - 2 x_{n} \bar{x} + {(\bar{x})}^{2}\}$

$= \frac{1}{n} \{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} - 2 \bar{x} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) + n {(\bar{x})}^{2}\}$

$= \frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - 2 \bar{x} \cdot \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) + {(\bar{x})}^{2}$

$= \frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - 2 \bar{x} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2}$

$= \frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - {(\bar{x})}^{2}$

$\bar{x^{2}} = \frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2})$ とおくと

$= \bar{x^{2}} - {(\bar{x})}^{2}$

となる．すなわち，分散 $s^{2}$ はデータの2乗の平均値 $\bar{x^{2}}$ から平均値の2乗 ${(\bar{x})}^{2}$ を引いた値になる．

参考ページ：分散(少し高度な表現を使っている)

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最終更新日：2026年3月14日