確率の積の法則（乗法定理）

　試行${\displaystyle {\text{T}}_1}$ では事象${\displaystyle {\text{A}}_1}$起こり続いて行う試行${\displaystyle {\text{T}}_2}$ では事象${\displaystyle {\text{A}}_2}$が起こる確率${\displaystyle P\left({\text{A}}_1\cap {\text{A}}_2\right)}$は， 試行${\displaystyle {\text{T}}_1}$ では事象${\displaystyle {\text{A}}_1}$起こる確率を${\displaystyle P\left({\text{A}}_1\right)}$， 試行${\displaystyle {\text{T}}_1}$ で事象${\displaystyle {\text{A}}_1}$起こったという条件つきで，続いて行う試行${\displaystyle {\text{T}}_2}$ で事象${\displaystyle {\text{A}}_2}$が起こる条件付確率を${\displaystyle P_{{\text{A}}_{\text{1}}}\left({\text{A}}_2\right)}$とすると，

${\displaystyle P\left(A_1\cap A_2\right)=P\left(A_1\right)·P_{A_1}\left(A_2\right)}$

となる．これを確率の積の法則または乗法定理という．

■確率の積の法則の導出

　試行${\displaystyle {\text{T}}_1}$ で起こるすべての場合の数を${\displaystyle n\left({\text{U}}_1\right)}$，試行Tで事象${\displaystyle {\text{A}}_1}$が起こる場合の数を${\displaystyle n\left({\text{A}}_1\right)}$， 試行${\displaystyle {\text{T}}_2}$ で起こるすべての場合の数を${\displaystyle n\left({\text{U}}_2\right)}$，試行Tで事象${\displaystyle {\text{A}}_2}$が起こる場合の数を${\displaystyle n\left({\text{A}}_2\right)}$， とすると， 試行1，試行2を連続して行った場合のすべての場合の数は積の法則より${\displaystyle n\left({\text{U}}_1\right)\times n\left({\text{U}}_2\right)}$， 事象${\displaystyle {\text{A}}_1}$に続いて事象${\displaystyle {\text{A}}_2}$が起こる場合の数は積の法則より${\displaystyle n\left({\text{A}}_1\right)\times n\left({\text{A}}_2\right)}$， となる．確率の定義より

となり確率の積の法則が導かれる．

■事例による説明

　数字1のカードが2枚，数字2のカードが3枚の計5枚のカードがある．5枚のカードから1枚のカードを取り，カードを戻さず2枚目のカードを引きます．1枚目に数字1のカードを取り，2枚目に数字2のカードを取る確率を求めよ．

1枚目に数字1のカードを取る確率は${\displaystyle \frac{2}{5}}$となる．
2枚目に数字2のカードを取る確率は，残りのカードが4枚で数字2のカードは3枚のままであるので${\displaystyle \frac{3}{4}}$となる．
よって，求める確率は

${\displaystyle \frac{2}{5}·\frac{3}{4}=\frac{3}{10}}$

となる．

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初版：2004年7月1日，最終更新日： 2006年4月5日