平均 (mean, average)

データ全体の特徴を表す代表値として用いられる量の一つが平均 (mean, average) である．平均の求め方には，算術平均，加重平均，幾何平均などがあり，状況によって使い分ける． ${\displaystyle n}$ 個のデータ ${\displaystyle x_1,}$ ${\displaystyle x_2,}$ ${\displaystyle x_3,}$ ${\displaystyle \cdots ,}$ ${\displaystyle x_n}$ があるとき，平均 ${\displaystyle \overline{x}}$ は以下のように定義される．

• 算術平均 (arithmetical mean)
  個々のデータ ${\displaystyle x_i}$ の総和をデータの個数 ${\displaystyle n}$ で割った値

  ${\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots +x_n\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i}$   （参照：和記号Σ）

  通常，平均値はこの算術平均を意味する．


• 加重平均 (weighted arithmetical mean)
  個々のデータに重み ${\displaystyle w_i}$ を掛けて総和をとり，重みの和で割った値

  ${\displaystyle \overline{x}=\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_n{x}_n}{w_1+w_2+\cdots +w_n}}$ ${\displaystyle =\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{w}_i}}$



• 幾何平均 (geometric mean)
  個々のデータの総乗の ${\displaystyle n}$ 乗根の値

  ${\displaystyle \overline{x}=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}}$ ${\displaystyle ={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\frac{1}{n}}}$

  ※ 幾何平均は正のデータ値しか扱えないことに注意．

■ 算術平均の例

10個のデータ

${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 7}$, ${\displaystyle 11}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 8}$, ${\displaystyle 15}$, ${\displaystyle 9}$, ${\displaystyle 8}$, ${\displaystyle 10}$, ${\displaystyle 11}$

の算術平均 ${\displaystyle \overline{x}}$ は

となる．

個々のデータを幅が１で高さがデータ値となる長方形を図のように横に並べると，平均は10個の長方形の面積の和と同じ面積になる幅が10の長方形の高さになる．

■ 確率変数の期待値

確率変数 ${\displaystyle X}$ の実現値の平均のことを期待値 (expected value) といい，${\displaystyle E\left(X\right)}$ と表現する（ ${\displaystyle E}$ は期待値の英語表記 Expected value の頭文字である ）．

確率変数 ${\displaystyle X}$ の確率関数を ${\displaystyle f\left(x\right)}$ とすると（ ${\displaystyle x}$ は ${\displaystyle X}$ の実現値 ），

• 離散型確率変数の場合： ${\displaystyle E\left(X\right)=\sum _{i=1}^n{x}_{i}f\left(x_i\right)}$


• 連続型確率変数の場合： ${\displaystyle E\left(X\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf\left(x\right)dx}$

と定義される．確率関数の性質として，

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)=1}$ （離散型確率変数）  または   ${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx=1}$ （連続型確率変数）

であるので，上式は，${\displaystyle f\left(x\right)}$ を重みとして加重平均をとったものと考えることができる．離散型確率変数の場合において，すべての実現値が等確率で起こるならば，${\displaystyle f\left(x_i\right)=\frac{1}{n}}$ となり，期待値 ${\displaystyle E\left(X\right)}$ は算術平均で求められる．

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　最終更新日： 2026年3月11日

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