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区間推定

確率分布の分かっている母集団から，推定量を用いて未知の母数がある確率で存在する区間を定めることを区間推定という．

母集団から大きさ ${\displaystyle n}$ の標本 ${\displaystyle X_1}$ ， ${\displaystyle X_2}$ ･･･ ${\displaystyle X_n}$ を取り出したときの未知の母数 $\theta$ の区間推定について説明する．

区間を定義する2つの推定量 ${\displaystyle {\theta }_l}$ ， ${\displaystyle {\theta }_u}$ に対して確率が

${\displaystyle P\left({\theta }_l\leqq \theta \leqq {\theta }_u\right)=\gamma }$ ${\displaystyle \left(0<\gamma <1\right)}$

となるとき， ${\displaystyle \theta }$ の区間

${\displaystyle {\theta }_l\leqq \theta \leqq {\theta }_u}$

を ${\displaystyle \theta }$ の 信頼係数 ${\displaystyle \gamma }$ の信頼区間という．このようにして信頼区間を定めることを区間推定という．

■母平均と母分散の区間推定

• 正規分布 ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ に従う母集団からの標本 ${\displaystyle X_1,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$ を取り出したときのそれぞれの具体的な値(実現値) ${\displaystyle x_1}$ ， ${\displaystyle x_2}$ ･･･ ${\displaystyle x_n}$ に対して

  ${\displaystyle \overline{x}-t_{n-1}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\sqrt{\frac{s^2}{n}}\leqq \mu \leqq \overline{x}+t_{n-1}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\sqrt{\frac{s^2}{n}}}$

  は母平均 ${\displaystyle \mu }$ の信頼係数 ${\displaystyle \gamma }$ の信頼区間である(母分散 ${\sigma }^2$ が未知の場合)．⇒説明

  ただし

  ${\displaystyle \alpha =1-\gamma }$ ：有意水準

  ${\displaystyle t_{n-1}\left(a\right)}$ ：自由度 ${\displaystyle n-1}$ の ${\displaystyle t}$ 分布において ${\displaystyle P\left(X\geqq u\right)=a}$ となる ${\displaystyle u}$ の値( $t$ 分布の備考を参照 )

  ${\displaystyle \overline{x}}$ ：標本平均

  $s^2$ ：不偏分散

  である．

• 正規分布 ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ に従う母集団からの標本 ${\displaystyle X_1,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$ を取り出したときのそれぞれの具体的な値(実現値) ${\displaystyle x_1}$ ， ${\displaystyle x_2}$ ･･･ ${\displaystyle x_n}$ に対して

  ${\displaystyle \frac{\left(n-1\right)s^2}{{\chi }_{n-1}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}\leqq {\sigma }^2\leqq \frac{\left(n-1\right)s^2}{{\chi }_{n-1}^2\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)}}$

  は母分散 ${\displaystyle {\sigma }^2}$ の信頼係数 ${\displaystyle \gamma }$ の信頼区間である．⇒説明

  ただし

  ${\displaystyle \alpha =1-\gamma }$ ：有意水準

  ${\displaystyle {\chi }_{n-1}^2\left(a\right)}$ ：自由度 $n-1$ の ${\chi }^2$ 分布において $P\left(X\geqq u\right)=a$ となる $u$ の値( ${\chi }^2$ 分布の備考を参照 )

  $s^2$ ：不偏分散

  である．

■Excel教材

区間推定の理解を深めるための教材をマイクロソフトのExcelで作成しました．

⇒Excel教材1：区間推定で用いられる ${\displaystyle t\left(n-1\right)}$ ， ${\displaystyle {\chi }^2\left(n-1\right)}$ の理解を深めるための教材

⇒Excel教材2：正規母集団の標本から得られる母平均，母分散の信頼区間のばらつきの状況を把握することにより区間推定の理解を深めることができる教材

　

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最終更新日： 2026年9月10日

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