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ポアソン分布

■定義

${\displaystyle 0,1,2,\cdot \cdot \cdot }$の値をとる確率変数 ${\displaystyle X}$ の確率関数（確率分布）が

${\displaystyle f\left(x\right)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^x}{x!}}$   ${\displaystyle \left(x=0,1,2,\cdot \cdot \cdot \right)}$

となるものを ポアソン分布といい，確率変数 $X$はパラメータ${\displaystyle \lambda }$ のポアソン分布 ${\displaystyle P_0\left(\lambda \right)}$に従うという．

ポアソン分布${\displaystyle P_0\left(\lambda \right)}$について

平均： ${\displaystyle E\left(X\right)=\lambda }$

分散： ${\displaystyle V\left(X\right)=\lambda }$

である．

■導出

ポアソン分布は，二項分布$B\left(n,p\right)$の

平均：${\displaystyle E\left(X\right)=np=\lambda }$

を一定にして，$n\to \infty$ にすることによって得られる．

二項分布の確率関数

${\displaystyle f\left(x\right)={}_{n}C_x{p}^x{q}^{n-x}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=1}^n\frac{xn!}{x!\left(n-x\right)!}{p}^x{q}^{n-x}}}$　（組合わせ ${\displaystyle {}_{n}C_r}$を参照）

に，${\displaystyle p=\frac{\lambda }{n}}$ を代入する．

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{n!}{x!\left(n-x\right)!}{p}^x{\left(1-p\right)}^{n-x}}$

$n\to \infty$ のとき

${\displaystyle 1-\frac{1}{n}\to 1}$

${\displaystyle 1-\frac{2}{n}\to 1}$

     $⋮$

${\displaystyle 1-\frac{x-1}{n}\to 1}$

${\displaystyle {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-x}\to 1}$

${\displaystyle {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n}$ ${\displaystyle ={\left\{{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-\frac{n}{\lambda }}\right\}}^{-\lambda }\to e^{-\lambda }}$ 　（∵自然対数の底 $e$ の定義）

備考：$x=0,1,2,\cdot \cdot \cdot$となっているが，${\displaystyle f\left(x\right)}$ の値を求めるときは，$x$ は有限の値になっている．

となる．よって

${\displaystyle f\left(x\right)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^x}{x!}}$

が得られる．

ポアソン分布を導出するときの前提，「平均：${\displaystyle \lambda =E\left(X\right)=np}$ を一定にする」ことより

${\displaystyle E\left(X\right)=\lambda }$

$n\to \infty$のとき，${\displaystyle \lambda =E\left(X\right)=np}$ を一定より，$p\to 0$，さらに，$p+q=1$ より，$q\to 1$ となる．よって

${\displaystyle V\left(X\right)=npq=\lambda \cdot 1=\lambda }$

である．

　

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最終更新日： 2024年2月10日

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