ポアソン分布

■定義

0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot

$0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot$ の値をとる確率変数

X

$f (x) = e^{- λ} \frac{λ^{x}}{x!}$ $f (x) = e^{- λ} \frac{λ^{x}}{x!}$ $(x = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ $(x = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$

となるものをポアソン分布といい，確率変数 $X$ $X$ はパラメータ $λ$ $λ$ のポアソン分布 $P_{0} (λ)$ $P_{0} (λ)$ に従うという．

ポアソン分布 $P_{0} (λ)$ $P_{0} (λ)$ について

平均： $E (X) = λ$ $E (X) = λ$

分散： $V (X) = λ$ $V (X) = λ$

である．

ポアソン分布は，二項分布 $B (n, p)$ $B (n, p)$ の

平均： $E (X) = n p = λ$ $E (X) = n p = λ$

を一定にして， $n \to \infty$ $n \to \infty$ にすることによって得られる．

二項分布の確率関数

$f (x) = {}_{n}C_{x} p^{x} q^{n - x}$

$= \sum_{x = 1}^{n} \frac{x n!}{x! (n - x)!} p^{x} q^{n - x}$ 　（組合わせ ${}_{n}C_{r}$ を参照）

に， $p = \frac{λ}{n}$ を代入する．

$f (x) = \frac{n!}{x! (n - x)!} p^{x} {(1 - p)}^{n - x}$

$= \frac{1}{x!} n (n - 1) (n - 2) \dots (n - x + 1) p^{x} {(1 - p)}^{n - x}$

$= \frac{1}{x!} n (n - 1) (n - 2) \dots (n - x + 1) {(\frac{λ}{n})}^{x} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - x}$

$= \frac{λ^{x}}{x!} \cdot \frac{n}{n} (\frac{n - 1}{n}) (\frac{n - 2}{n}) \dots (\frac{n - x + 1}{n}) {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - x}$

$= \frac{λ^{x}}{x!} \cdot 1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \dots (1 - \frac{x - 1}{n}) {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n}$

$n \to \infty$ のとき

$1 - \frac{1}{n} \to 1$

$1 - \frac{2}{n} \to 1$

$⋮$

$1 - \frac{x - 1}{n} \to 1$

${(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \to 1$

${(1 - \frac{λ}{n})}^{n}$ $= {\{{(1 - \frac{λ}{n})}^{- \frac{n}{λ}}\}}^{- λ} \to e^{- λ}$ 　（∵自然対数の底 $e$ の定義）

備考： $x = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot$ となっているが， $f (x)$ の値を求めるときは， $x$ は有限の値になっている．

となる．よって

$f (x) = e^{- λ} \frac{λ^{x}}{x!}$

が得られる．

ポアソン分布を導出するときの前提，「平均： $λ = E (X) = n p$ を一定にする」ことより

$E (X) = λ$

$n \to \infty$ のとき， $λ = E (X) = n p$ を一定より， $p \to 0$ ，さらに， $p + q = 1$ より， $q \to 1$ となる．よって

$V (X) = n p q = λ \cdot 1 = λ$

である．

最終更新日： 2024年2月10日