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$X$ と $Y$ が独立な確率変数の場合： $E\left(XY\right)=E\left(Y\right)E\left(Y\right)$

独立な2つの確率変数 ${\displaystyle X}$ ， ${\displaystyle Y}$ について

${\displaystyle E\left(XY\right)=E\left(Y\right)E\left(Y\right)}$ ･･････(1)

が成り立つ．

■証明

確率関数 $f\left(x\right)$ ， $g\left(y\right)$，$h\left(x,y\right)$ を以下のように定める(同時確率分布を参照) ．

${\displaystyle P\left(X=x_i\right)=f\left(x_i\right)}$

${\displaystyle P\left(Y=y_j\right)=g\left(y_j\right)}$

${\displaystyle P\left(X=x_{i}Y=y_j\right)=h\left(x_i,y_j\right)}$

$X$ ， $Y$ が独立であることより

${\displaystyle h\left(x_i,y_j\right)=f\left(x_i\right)g\left(y_j\right)}$

が成り立つ．この関係を利用して，以下のように証明をする．

${\displaystyle E\left(XY\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{x}_i{y}_{j}h\left(x_i,y_j\right)}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{x}_i{y}_{j}f\left(x_i\right)g\left(y_j\right)}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^m\left\{x_{i}f\left(x_i\right){\displaystyle \sum _{j=1}^n{y}_{j}g\left(y_j\right)}\right\}}}$

${\displaystyle =\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{x}_{i}f\left(x_i\right)}\right\}\left\{{\displaystyle \sum _{j=1}^n{y}_{j}g\left(y_j\right)}\right\}}$

${\displaystyle =E\left(X\right)+E\left(Y\right)}$

　

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最終更新日： 2026年4月9日

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