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3次関数が点対称であることの証明

3次関数 ${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ は， 変曲点 ${\displaystyle \left(\mu ,f\left(\mu \right)\right)}$ に関して対称(点対称)である．ただし，${\displaystyle \mu =-\frac{b}{3a}}$

■証明

${\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c}$

${\displaystyle y^{″}=f^{″}\left(x\right)=6ax+2b}$${\displaystyle =6a\left(x+\frac{b}{3a}\right)}$

よって，点$\left(\mu ,f\left(\mu \right)\right)$は変曲点となる．

3次関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフ上の点${\displaystyle \left(\mu +\lambda ,f\left(\mu +\lambda \right)\right)}$ と点${\displaystyle \left(\mu -\lambda ,f\left(\mu -\lambda \right)\right)}$ の中点が ${\displaystyle \left(\mu ,f\left(\mu \right)\right)}$ になっていればよい．以下にそのことを示す.

${\displaystyle f\left(-\frac{b}{3a}+\lambda \right)}$${\displaystyle =a{\left(-\frac{b}{3a}+\lambda \right)}^3+b{\left(-\frac{b}{3a}+\lambda \right)}^2+c\left(-\frac{b}{3a}+\lambda \right)+d}$

${\displaystyle =a\left\{{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^3+3{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^2\lambda +3\left(-\frac{b}{3a}\right){\lambda }^2+{\lambda }^3\right\}}$${\displaystyle +b\left\{{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^2+2\left(-\frac{b}{3a}\right)\lambda +{\lambda }^2\right\}}$${\displaystyle +c\left(-\frac{b}{3a}+\lambda \right)+d}$　･･････(1)

${\displaystyle f\left(-\frac{b}{3a}-\lambda \right)}$${\displaystyle =a{\left(-\frac{b}{3a}-\lambda \right)}^3+b{\left(-\frac{b}{3a}-\lambda \right)}^2+c\left(-\frac{b}{3a}-\lambda \right)+d}$

${\displaystyle =a\left\{{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^3-3{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^2\lambda +3\left(-\frac{b}{3a}\right){\lambda }^2-{\lambda }^3\right\}}$${\displaystyle +b\left\{{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^2-2\left(-\frac{b}{3a}\right)\lambda +{\lambda }^2\right\}}$${\displaystyle +c\left(-\frac{b}{3a}-\lambda \right)+d}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle \frac{1}{2}\left\{f\left(-\frac{b}{3a}+\lambda \right)+f\left(-\frac{b}{3a}-\lambda \right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{2a{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^3+6a\left(-\frac{b}{3a}\right){\lambda }^2+2b{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^2+2b{\lambda }^2+2c\left(-\frac{b}{3a}\right)+2d\right\}}$

${\displaystyle =a{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^3+b{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^2+c\left(-\frac{b}{3a}\right)+d}$

${\displaystyle =f\left(-\frac{b}{3a}\right)}$

したがって

点${\displaystyle \left(\mu +\lambda ,f\left(\mu +\lambda \right)\right)}$ と点${\displaystyle \left(\mu -\lambda ,f\left(\mu -\lambda \right)\right)}$ の中点は ${\displaystyle \left(\mu ,f\left(\mu \right)\right)}$ である．

　

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最終更新日： 2024年6月14日

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