原点を中としてにグラフを拡大移動した関数

関数 $y = f (x)$ $y = f (x)$ のグラフを原点を中心として $x$ $x$ 軸方向に $c$ $c$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $d$ $d$ 倍(拡大移動) したグラフを表す関数は

$\frac{y}{d} = f (\frac{x}{c})$ $\frac{y}{d} = f (\frac{x}{c})$ 　･･････(1)

となる．

ポイント：原点を中心として $x$ $x$ 軸方向に $c$ $c$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $d$ $d$ 倍した関数とは元の関数の $x$ $x$ を $\frac{x}{c}$ $\frac{x}{c}$ に， $y$ $y$ を $\frac{y}{d}$ $\frac{y}{d}$ に書き換えたものになる．

■関連動画

■式の導出

グラフの拡大の考え方を具体的に説明する．

まず

$y = x$ $y = x$ 　･･････(2)

の直線のグラフについて考える．

●原点を中心として $x$ $x$ 軸方向に拡大したグラフを表す関数

$y = x$ $y = x$ のグラフを，原点を中心として $x$ $x$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数を求める．

原点を中心として $x$ $x$ 軸方向に3倍とは， $x$ $x$ 座標の値を3倍にすることである． $y = x$ $y = x$ 上の点 $P$ $P$ がこの拡大変換により移動した先を点 $Q$ $Q$ とし，点 $P$ $P$ ， $Q$ $Q$ の座標をそれぞれ $(r, s)$ $(r, s)$ ， $(x, y)$ $(x, y)$ とする．点 $Q$ $Q$ の $x$ $x$ 座標の値は点 $P$ $P$ の $x$ $x$ 座標の値 $r$ $r$ を3倍したものとなり，点 $Q$ $Q$ の $y$ $y$ 座標の値は点 $P$ $P$ の $y$ $y$ 座標の値 $s$ $s$ のままである．すなわち

${\begin{cases} x = 3 r \\ y = s \end{cases} \to (x, y) = (3 r, s)$ ${\begin{cases} x = 3 r \\ y = s \end{cases} \to (x, y) = (3 r, s)$ 　･･････(3)

の関係がある．これは点 $Q$ $Q$ を点 $P$ $P$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $P$ $P$ の座標を，点 $Q$ $Q$ の座標の値 $x$ $x$ ， $y$ $y$ を使って表すと

${\begin{cases} r = \frac{x}{3} \\ s = y \end{cases} \to (r, s) = (\frac{x}{3}, y)$ ${\begin{cases} r = \frac{x}{3} \\ s = y \end{cases} \to (r, s) = (\frac{x}{3}, y)$ 　･･････(4)

となる．点 $P$ $P$ は $y = x$ $y = x$ 上の点であるので

$r = s$ $r = s$ 　･･････(5)

の関係がある．(5)の $r$ $r$ と $s$ $s$ に(4)の $r = \frac{x}{3}$ $r = \frac{x}{3}$ ， $s = y$ $s = y$ の関係を代入すると

$y = \frac{x}{3}$ $y = \frac{x}{3}$ 　･･････(6)

となる．(6)は $x$ $x$ と $y$ $y$ の関係を表している．すなわち，この(6)が(2)の $y = x$ $y = x$ のグラフを原点中心として $x$ $x$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数である．

ポイント：原点を中心に $x$ $x$ 軸方向に3倍した関数とは元の関数の $x$ $x$ を $\frac{x}{3}$ $\frac{x}{3}$ に書き換えたものになる．

●原点を中心として $y$ $y$ 軸方向に拡大したグラフを表す関数

$y = x$ $y = x$ のグラフを，原点を中心として $y$ $y$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数を求める．

　原点を中心として $y$ $y$ 軸方向に3倍とは， $y$ $y$ 座標の値を3倍にすることである． $y = x$ $y = x$ 上の点 $P$ $P$ がこの拡大変換により移動した先を点 $Q$ $Q$ とし，点 $P$ $P$ ， $Q$ $Q$ の座標をそれぞれ $(r, s)$ $(r, s)$ ， $(x, y)$ $(x, y)$ とする．点 $Q$ $Q$ の $x$ $x$ 座標の値は点 $P$ $P$ の $x$ $x$ 座標の値 $r$ $r$ のままであり，点 $Q$ $Q$ の $y$ $y$ 座標の値は点 $P$ $P$ の $y$ $y$ 座標の値 $s$ $s$ を3倍したものである．すなわち

${\begin{cases} x = r \\ y = 3 s \end{cases} \to (x, y) = (r, 3 s)$ ${\begin{cases} x = r \\ y = 3 s \end{cases} \to (x, y) = (r, 3 s)$ 　･･････(7)

${\begin{cases} r = x \\ s = \frac{y}{3} \end{cases} \to (r, s) = (x, \frac{y}{3})$ ${\begin{cases} r = x \\ s = \frac{y}{3} \end{cases} \to (r, s) = (x, \frac{y}{3})$ 　･･････(8)

となる．点 $P$ $P$ は $y = x$ $y = x$ 上の点であるので

$r = s$ $r = s$ 　･･････(5)

の関係がある．(5)の $r$ $r$ と $s$ $s$ に(4)の $r = x$ $r = x$ ， $s = \frac{y}{3}$ $s = \frac{y}{3}$ の関係を代入すると

$\frac{y}{3} = x$ $\frac{y}{3} = x$ 　･･････(9)

となる．(9)は $x$ $x$ と $y$ $y$ の関係を表している．すなわち，この(9)が(2)の $y = x$ $y = x$ のグラフを原点を中心として $y$ $y$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数である．

ポイント：原点を中心に $y$ $y$ 軸方向に3倍した関数とは元の関数の $y$ $y$ を $\frac{y}{3}$ $\frac{y}{3}$ に書き換えたものになる．

以上の基本的な考え方を基にして

● $x$ $x$ 軸方向， $y$ $y$ 軸方向の拡大を組み合わせたグラフの関

$y = f (x)$ $y = f (x)$ のグラフを原点を中心として $x$ $x$ 軸方向に $c$ $c$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $d$ $d$ 倍したグラフを表す関数を求める．

$y = f (x)$ $y = f (x)$ 上の点 Pがこの拡大変換により移動した先を点 $Q$ $Q$ とし，点 $P$ $P$ ， $Q$ $Q$ の座標をそれぞれ $(r, s)$ $(r, s)$ ， $(x, y)$ $(x, y)$ とする．点 $Q$ $Q$ の $x$ $x$ 座標の値は点 $P$ $P$ の $x$ $x$ 座標の値 $r$ $r$ を $c$ $c$ 倍したものとなり，点 $Q$ $Q$ の $y$ $y$ 座標の値は点 $P$ $P$ の $y$ $y$ 座標の値 $s$ $s$ を $d$ $d$ 倍したものである．すなわち

${\begin{cases} x = c r \\ y = d s \end{cases} \to (x, y) = (c r, d s)$ ${\begin{cases} x = c r \\ y = d s \end{cases} \to (x, y) = (c r, d s)$ 　･･････(10)

${\begin{cases} r = \frac{x}{c} \\ s = \frac{y}{d} \end{cases} \to (r, s) = (\frac{x}{c}, \frac{y}{d})$ ${\begin{cases} r = \frac{x}{c} \\ s = \frac{y}{d} \end{cases} \to (r, s) = (\frac{x}{c}, \frac{y}{d})$ 　･･････(11)

となる．点 $P$ $P$ は $y = f (x)$ $y = f (x)$ 上の点であるので

$s = f (r)$ $s = f (r)$ 　･･････(12)

の関係がある．(12)の $r$ $r$ ， $s$ $s$ に(11)の $r = \frac{x}{c}$ $r = \frac{x}{c}$ ， $s = \frac{y}{d}$ $s = \frac{y}{d}$ の関係を代入すると

$\frac{y}{d} = f (\frac{x}{c})$ $\frac{y}{d} = f (\frac{x}{c})$ 　･･････(1)

となる．(1)は $x$ $x$ と $y$ $y$ の関係を表している．すなわち，この(1)が $y = f (x)$ $y = f (x)$ のグラフを原点を中心として $x$ $x$ 軸方向に $c$ $c$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $d$ $d$ 倍したグラフを表す関数である．

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最終更新日 2024年5月17日

原点を中としてにグラフを拡大移動した関数

■関連動画

■式の導出

●原点を中心としてxx<math> <mi>x</mi></math> 軸方向に拡大したグラフを表す関数

●原点を中心としてyy<math> <mi>y</mi></math> 軸方向に拡大したグラフを表す関数

●xx<math> <mi>x</mi></math> 軸方向 ，yy<math> <mi>y</mi></math>軸方向の拡大を組み合わせたグラフの関

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●原点を中心として $x$ $x$ 軸方向に拡大したグラフを表す関数

●原点を中心として $y$ $y$ 軸方向に拡大したグラフを表す関数

● $x$ $x$ 軸方向， $y$ $y$ 軸方向の拡大を組み合わせたグラフの関