漸近線

漸近線とは，曲線の中心部から遠くに離れるほど曲線との距離が限りなく0に近づき，その曲線とは交わる(接触)しない直線のことである．

分かりやすい例でいうと，反比例のグラフである．

$y = \frac{1}{x}$ $y = \frac{1}{x}$ のグラフを見てみると，原点から遠く離れている部分では $x$ $x$ 軸と $y$ $y$ 軸に近づいているが，決して交わることはない．

よって， $x$ $x$ 軸と $y$ $y$ 軸が漸近線になる．

$y = f (x)$ $y = f (x)$ のグラフに関して， $y$ $y$ 軸に平行な漸近線の場合

$lim x \to a + 0 f (x) = \infty$ $\lim_{x \to a + 0} f (x) = \infty$

$lim x \to a + 0 f (x) = - \infty$ $\lim_{x \to a + 0} f (x) = - \infty$

$lim x \to a - 0 f (x) = \infty$ $\lim_{x \to a - 0} f (x) = \infty$

$lim x \to a - 0 f (x) = - \infty$ $\lim_{x \to a - 0} f (x) = - \infty$

のどれか1つでも成り立てば， $x = a$ $x = a$ が漸近線となる．

$x$ $x$ 軸に平行な漸近線の場合

$lim x \to + \infty f (x) = a$ $\lim_{x \to + \infty} f (x) = a$

$lim x \to - \infty f (x) = a$ $\lim_{x \to - \infty} f (x) = a$

のどれか1つでも成り立てば， $y = a$ $y = a$ が漸近線となる．

また，双曲線 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ のグラフのように1次関数が漸近線になることもある．

関数この場合， $y = \pm \frac{b}{a} x$ $y = \pm \frac{b}{a} x$ が漸近線である．

関数 $f (x)$ $f (x)$ の漸近線が1次関数 $y = a x + b$ $y = a x + b$ の場合

傾き $a$ $a$ : $a = lim x \to \pm \infty \frac{f (x)}{x}$ $a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x}$

$y$ $y$ 切片 $b$ $b$ : $b = lim x \to \pm \infty {f (x) - a x}$ $b = \lim_{x \to \pm \infty} {f (x) - a x}$

となる．

最終更新日： 2024年3月1日